人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.3 利用导数解决实际问题学案

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“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
知识点 用导数解决最优化问题的基本思路
解决最优化问题的注意点
利用导数求解最优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题中要特别注意以下几点：
(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；
(2)确定函数解析式中自变量的取值范围；
(3)所得的结果要符合问题的实际意义．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．eq \f(20,3) C．－1 D．－8
C [原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1．]
2．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝eq \f(256,x2)．所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq \f(256,x2)＋x2＝eq \f(256×4,x)＋x2．S′＝2x－eq \f(256×4,x2)，
令S′＝0，得x＝8，
因此h＝eq \f(256,64)＝4(m)．]
类型1 面积、体积的最值问题
【例1】 (对接教材P99例2)请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路点拨] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm．
由已知得a＝eq \r(2)x，h＝eq \f(60－2x,\r(2))＝eq \r(2)(30－x)，0＜x＜30．
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2eq \r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq \r(2)x(20－x)．
令V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20．
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0．
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时eq \f(h,a)＝eq \f(1,2)，所以包装盒的容积最大时，x＝20，此时，包装盒的高与底面边长的比值为eq \f(1,2)．
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
[跟进训练]
1．将一张2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为x m，容积为y m3．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
[解] (1)由水箱的高为x m，
得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为eq \f(6－2x,2)＝(3－x) m．
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝eq \f(4＋\r(7),3)(舍去)或x＝eq \f(4－\r(7),3)．
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为eq \f(4－\r(7),3)时，水箱的容积最大．
类型2 用料最省、成本(费用)最低问题
【例2】 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
[思路点拨] 可设CD＝x km，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
[解] 设CD＝x km，则CE＝(3－x)km．
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝eq \r(1＋x2)＋eq \r(1.52＋(3－x)2)(0≤x≤3)，
从而l′＝eq \f(x,\r(1＋x2))－eq \f(3－x,\r(1.52＋(3－x)2))．
令l′＝0，即eq \f(x,\r(1＋x2))－eq \f(3－x,\r(1.52＋(3－x)2))＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
因为在[0，3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
[跟进训练]
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝eq \f(1,19 200)v4－eq \f(1,160)v3＋15v．
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解] (1)Q＝P·eq \f(400,v)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19 200)v4－\f(1,160)v3＋15v))×eq \f(400,v)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19 200)v3－\f(1,160)v2＋15))×400
＝eq \f(v3,48)－eq \f(5,2)v2＋6 000(0(2)Q′＝eq \f(v2,16)－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝eq \f(2 000,3)(元)．
类型3 利润最大、效率最高问题
在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[思路探究] (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以eq \f(a,2)＋10＝11，故a＝2．
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x－3)＋10(x－6)2))＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42．
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大．(eq \r(7)≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，
∴b＝300，可得a＝500．
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(500(x－3)2＋\f(300,x－1)，1(2)由题意：
f(x)＝y(x－1)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(500(x－3)2(x－1)＋300，1当1∴f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
由f′(x)<0，得eq \f(5,3)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝eq \f(24 100,27)当4当且仅当100x＝eq \f(2 800,x)，即x＝2eq \r(7)≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时有最大值1 840．
∵1 800<1 840，
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，商场所获利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
C [因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．]
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(60－x,2)))(0A．30 B．40 C．50 D．60
B [V′(x)＝－eq \f(3,2)x2＋60x＝－eq \f(3,2)x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当403．一个矩形铁皮的长为16 cm，宽为10 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x(cm)，小盒子的容积为V(cm3)，则( )
A．当x＝2时，V有极小值
B．当x＝2时，V有极大值
C．当x＝eq \f(20,3)时，V有极小值
D．当x＝eq \f(20,3)时，V有极大值
B [小盒子的容积为V＝x(16－2x)(10－2x)＝4x3－52x2＋160x(0所以V′＝12x2－104x＋160，令V′＝0得x＝2或x＝eq \f(20,3)(舍去)，
当00，V(x)单调递增，当2所以当x＝2时V有极大值为144．故选B．]
4．某关系式为y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x>0)，为使y最小，则x应为________．
40 [由题设知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，
故函数y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x>0)在(40，＋∞)上单调递增，在(0，40)上单调递减．∴当x＝40时，y取得最小值．]
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
6 [设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故x＝6，利润最大．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤有哪些？
[提示]
提醒：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际问题的过程中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数解析式表示出来，还应确定出函数解析式中自变量的取值范围．
2．生活中的最优化问题有哪些常见类型？
[提示]
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)
2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)
1．通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养．
2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
利润
最大
利润最大问题中目标函数是利润，一般确定函数解析式的等量关系为利润＝每件利润×销量，其中每件利润＝每件售价－每件成本．实际问题中成本可分为两类：可变部分(因产品数量变化而变化)与不变部分(不因产品数量变化而发生改变)．认真审题，读题两遍：第一遍看完题目后根据关键词确定函数模型(利润最大问题)；第二遍读题时应标清数据的地位与作用，不要张冠李戴．准确确定定义域，最后用导数求最值
用料
最省
受一定资源限制，实际生活中有一类最优化问题就是费用最低、用料最省问题．通过审题将所需费用(或几何体的表面积等涉及用料问题的量)设为目标变量，选择恰当的自变量，抓住题中的等量关系，写出函数解析式，一定要注意自变量的实际意义，准确确定定义域．建立函数模型后，用导数法求目标函数的最小值
容积
最大
解决容积、体积最大问题时，需根据几何体的形状，利用立体几何的相关知识，如柱、锥、球的体积公式等，将目标变量表示为取好的自变量的函数，准确确定定义域，再用导数知识求目标函数的最大值
效率
最高
先要清楚效率是如何求出的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(效率＝\f(产量,生产时间)))，然后求出产量与生产时间，最后得出结论
运费
最省
其实此类问题就是路程、时间、速度三者之间的关系问题，由时间与速度求出路程，根据路程确定何时运输费用最少