人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和巩固练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列 {2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1D．1－299
C [数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝eq \f(1－299,1－2)＝299－1．]
2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )
A．eq \f(1－an,1－a)B．eq \f(1－an－1,1－a)
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－an,1－a)a≠1,na＝1))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－an－1,1－a)a≠1,na＝1))
C [当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝eq \f(1－an,1－a)．]
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32 C．63 D．64
C [法一：由(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63．
法二：由S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63．]
4．在等比数列{an}中，a3＝eq \f(3,2)，其前三项的和S3＝eq \f(9,2)，则数列{an}的公比q＝( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)或1D．eq \f(1,2)或1
C [由题意，可得a1q2＝eq \f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq \f(9,2)，两式相除，得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq \f(1,2)或1．]
5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1 C．43 D．43＋1
A [已知an＋1＝3Sn，则当n≥2时，an＝3Sn－1，两式作差，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，也即数列从第2项起，是以a2＝3为首项，4为公比的等比数列，从而an＝3·4n－2，n≥2．
由于a1＝1，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,3·4n－2，n≥2，))于是a6＝3×44．]
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6．]
7．已知等比数列{an}的公比q＝eq \f(1,3)，则eq \f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)＝________．
3 [∵q＝eq \f(a2＋a4＋a6＋a8,a1＋a3＋a5＋a7)，∴eq \f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)＝eq \f(1,q)＝3．]
8．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________．
3或－4 [∵S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(21－q3,1－q)＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4．]
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn．
[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0．
又q≠0，从而q＝－eq \f(1,2)．
(2)由已知可得a1－a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝3，故a1＝4．
从而Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)))．
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
[解] (1)由a1＝1，an＋1－an＝2得，
an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，所以bn＝2n－1．
(2)cn＝(2n－1)2n－1，
Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，
2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，
上述两式作差得
－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，
即－Sn＝1＋2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(21－2n－1,1－2)))－(2n－1)2n，
所以Sn＝3－2n(3－2n)．
1． “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq \r(12,2)．若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为( )
A．eq \r(12,27)fB．eq \r(12,25)f
C．eq \r(3,22)fD．eq \r(3,2)f
B [由题意知，十三个单音的频率构成等比数列{an}，公比为eq \r(12,2)，
∴第六个单音的频率a6＝a1·q5＝eq \r(12,25)f．故选B．]
2．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为常数)，则下列结论正确的有( )
A．{an}一定是等比数列
B．当p＝1时，S4＝eq \f(15,8)
C．当p＝eq \f(1,2)时，am·an＝am＋n
D．|a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|
BC [由a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p①得，2(a2＋p)－p＝2p，故a2＝eq \f(p,2)，则eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,2)，
当n≥2时，有2Sn－1－Sn－2＝2p②，由①－②得2an－an－1＝0，即eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)，
故当p≠0时，数列{an}为首项为p，公比为eq \f(1,2)的等比数列；当p＝0时不是等比数列，故A错误；
当p＝1时，S4＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,24))),1－\f(1,2))＝eq \f(15,8)，故B正确；
当p＝eq \f(1,2)时，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，则am·an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m＋n)＝am＋n，故C正确；
当p≠0时，|a3|＋|a8|＝|p|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22)＋\f(1,27)))＝eq \f(33,128)|p|，而|a5|＋|a6|＝|p|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,24)＋\f(1,25)))＝eq \f(12,128)|p|，
故|a3|＋|a8|> |a5|＋|a6|，则D错误；故选BC．]
3．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq \f(a1[1－q2n],1－q2)．
由题意得eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(3a11－q2n,1－q2)．
∴1＋q＝3，∴q＝2．又当q＝1时，不合题意，∴公比q＝2．]
4．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________，数列{an}的前n项和Sn＝________．
2n－1 2n＋1－n－2 [an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1．
其前n项和Sn＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2．]
从①b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq \f(n(n＋1),2)(n∈N*)，②{bn}为等差数列且b2＝2，2b1＋b5＝7，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答．
问题：已知数列{an}，{bn}满足an＝2bn，且__________．
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)若cm表示数列{bn}在区间(0，am)内的项数，求数列(cm)的前m项的和Tm．
[解] (1)选择①，因为b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq \f(n(n＋1),2)(n∈N*)，
当n＝1时，b1＝1，
当n≥2时，bn＝eq \f(n(n＋1),2)－eq \f((n－1),2)＝n，n＝1时也成立，故bn＝n，
所以an＝2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n＋1,2n)＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
若选择②，设数列{bn}公差为d，
由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＋d＝2，,2b1＋b1＋4d＝7，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝1，,d＝1，)) 得bn＝n，所以an＝2n，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n＋1,2n)＝2．
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)若选择条件①，则an＝2n，
所以c1对应的区间为(0，2)，则c1＝1；c2对应的区间为(0，4)，则c2＝3；
c3对应的区间为(0，8)，则c3＝7；……；cm对应的区间为(0，2m)，则cm＝2m－1；
所以Tm＝21－1＋22－1＋…＋2m－1＝eq \f(2(1－2m),1－2)－m＝2m＋1－2－m．
若选择条件②，则an＝2n，
所以c1对应的区间为(0，2)，则c1＝1；c2对应的区间为(0，4)，则c2＝3；
c3对应的区间为(0，8)，则c3＝7；……；cm对应的区间为(0，2m)，则cm＝2m－1；
所以Tm＝21－1＋22－1＋…＋2m－1＝(1－2m)－m＝2m＋1－2－m．