高中数学2 数学建模的主要步骤课后练习题

这是一份高中数学2 数学建模的主要步骤课后练习题，共3页。试卷主要包含了包汤圆，买水果现象等内容，欢迎下载使用。

1．包汤圆
通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆(饺子)．今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个(小一些)，还是少包几个(大一些)?
问题 圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆．若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v.
假设
模型
应用
2．买水果现象
平时与大人上街买水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上买桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑．下面我们用建立数学模型的知识解释这种做法的合理性．
课时作业(四十七) 数学建模的主要步骤
1．假设 (1)皮的厚度一样 (2)汤圆(饺子)的形状一样
模型
应用 V＝eq \r(n)(nv)≥nv，V是nv的eq \r(n)倍．
若100个汤圆(饺子)包1公斤馅，
则50个汤圆(饺子)可以包1.4公斤馅．
2．解析：实际模型 考虑到外界对这三种水果表皮的污染，从食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等．因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积(皮)之和越小越好．
数学模型 是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看作成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它．从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为：
设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个，半径分别为r1，r2，…，rm，乙堆有球n(n≤m)个，半径分别为R1，R2，…Rn，其中Ri≥max{r1，r2，…rm}，i＝1,2…，n，求证：甲堆球的表面积之和不小于乙堆球的表面积之和．
模型求解 该模型求解实际上是在两堆体积相等的前提下，即：
eq \f(4π,3)(req \\al(3,1)＋req \\al(3,2)＋…＋req \\al(3,n))＝eq \f(4π,3)(Req \\al(3,1)＋Req \\al(3,2)＋…＋Req \\al(3,m))，
其中Ri≥max{r1，r2，…rm}，i＝1,2，…，n，证明不等式：4π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋…＋req \\al(2,m))≥4π(Req \\al(2,1)＋Req \\al(2,2)＋…＋Req \\al(2,n))．
假设：4π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋…＋req \\al(2,m))<4π(Req \\al(2,1)＋Req \\al(2,2)＋…＋Req \\al(2,n))，
则有：
(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋…＋req \\al(2,m))<(Req \\al(2,1)＋Req \\al(2,2)＋…＋Req \\al(2,n))，而
(Req \\al(2,1)＋…＋Req \\al(2,n))(R1＋…＋Rn)＝Req \\al(3,1)＋…＋Req \\al(3,n)＋R1(Req \\al(2,2)＋Req \\al(2,3)＋…＋Req \\al(2,n))＋…＋Rn(Req \\al(2,1)＋…＋Req \\al(2,n－1))．
又因为有：RiReq \\al(2,j)＋Req \\al(2,i)Rj≤Req \\al(3,i)＋Req \\al(3,j)(i，j∈N，i≠j)．
所以有(Req \\al(2,1)＋…＋Req \\al(2,n))(R1＋…＋Rn)≤Req \\al(3,1)＋…＋Req \\al(3,n)＋(n－1)(Req \\al(3,1)＋Req \\al(3,2)＋Req \\al(3,3)＋…＋Req \\al(3,n))，即有：
Req \\al(3,1)＋Req \\al(3,2)＋…＋Req \\al(3,n)≥eq \f(1,n)(Req \\al(2,1)＋…＋Req \\al(2,n))(R1＋…＋Rn)
>eq \f(1,n)(req \\al(2,1)＋…＋req \\al(2,m))(R1＋…＋Rn)
≥(req \\al(2,1)＋…＋req \\al(2,m))min{R1，…，Rn}
≥(req \\al(2,1)＋…＋req \\al(2,m))max{r1，r2，…，rm}
≥req \\al(3,1)＋…＋req \\al(3,m)，
即有：eq \f(4π,3)(Req \\al(3,1)＋…＋Req \\al(3,n))>eq \f(4π,3)(req \\al(3,1)＋…＋req \\al(3,m))，
这与题设矛盾，于是有：
4π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋…＋req \\al(2,m))≥4π(Req \\al(2,1)＋Req \\al(2,2)＋…＋Req \\al(2,n))．
模型检验 这一结论与我们实际做法吻合．
模型深化 据日常经验可视其与桃子、梨子、苹果的大小成正比，则一定重量的桃子、梨子、苹果其核亦应相等．因此买这三种水果先从最大的挑选起是不会吃亏的．按它们的大小定价也是合理的．如果它们不去皮食用，那么上述讨论无意义．且上述模型及研究对于球形去皮食用水果都是适用的．