2020-2021学年1.1利用函数性质判定方程解的存在教学设计及反思

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

教学目标：

1.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.

2.掌握零点存在的判定定理，会求简单函数的零点.

3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.

重点难点　

重点：函数零点与方程根的关系及零点存在的判定．

难点：函数零点存在性的判定．

问题提出

       方程与函数都是代数的重要内容

       多数方程没有求解公式

       如何利用方程与函数的关系求方程的解？

一．新知初探·思维启动

1．函数的零点

(1)函数y＝f(x)的__________与______________________称为这个函数的零点．

(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程__________的解．

想一想

1.函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？

提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x轴交点的横坐标．

做一做   

1.函数y＝x的零点是(　　)

A．(0,0)　   B．0C．1        D．不存在

解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，

∴x＝0.

2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是(　　)

A．0           B．1          C．2          D．3

解析：选C.x2－2x＝0，∴x＝0，x＝2.

2．函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．

想一想

2.若函数y＝f(x)在[a，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？

提示：不一定．如y＝x2在[－1,1]有零点0，但f(－1)·f(1)>0.

做一做

3.已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(　　)

A．(3,4)   B．(2,3)

C．(1,2)   D．(0,1)

解析：选C.f(0)＝－1，f(1)＝－1，f(2)＝5，f(3)＝23，正零点在(1,2)上．

二．典题例证·技法归纳

题型一　求函数的零点

例1.下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由．

(1)y＝ax＋2(a≠0)；

(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；

(3)y＝ln x－1.

变式训练

1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．

(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；

(2)f(x)＝1＋log3x；

(3)f(x)＝4x－16.

题型二　零点个数的判断

例2.1. 求f(x)＝x3－2x2 －3x的零点。

2.讨论f(x)= 2-x－log2x零点的个数。

变式训练

2．已知函数f(x)＝x＋－3，则f(x)＝0在区间(1,3)内(　　)

A．恰有一个解    B．恰有两个解

C．至少有一个解   D．无解

题型三　判断零点所在区间

例3.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)

变式训练

小结

1．求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0,方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．

2．判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．