2020年四川绵阳二诊文科数学试题+答案

这是一份2020年四川绵阳二诊文科数学试题+答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【详解】由题意，∴． 故选：D．
2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【详解】由题意． 故选：A．
3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
【答案】A 【详解】设高一（2）被抽取人，则，解得． 故选：A．
4.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【详解】∵，∴，，∴． 故选：C．
5.已知为任意角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【详解】，则，因此“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
6.已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意圆标准方程为，圆心为，半径为6，
∵线段的垂直平分线交于点，∴，
∴，
∴点轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
∴，， ∴其轨迹方程为．
故选：A．
7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（ ）
A. 产品的销售额与广告费用成正相关
B. 该回归直线过点
C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D. 值是20
【答案】C
【详解】因为回归直线方程中系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；
又，∴，回归直线一定过点，B正确；
时，，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；
由，得，D正确．
故选：C．
8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．
故选：B．
9.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【详解】由题意，渐近线方程为，不妨设方程为，
由，得，即，同理，
∴，由题意，∴．
故选：B．
10.已知圆：，直线经过点，且将圆及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线交圆于两点，设，如图，则直线分圆所成两部分中较小部分面积为，较大部分面积为，
∴这两部分面积之差的绝对值为，
，∴是减函数，最小时，最大．
在中，，∴最小时，最大，从而最小．
∵经过点，∴由圆的性质知当时，取得最小值.此时，∴直线方程为，即．
故选：D．
11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵是偶函数，∴，则不等式可化为，即，
时，，，
令，则，∴是上的增函数，∴当时，，
∴时，，∴在上是增函数，
∴由得，即，．
故选：A．
12.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】（1）若由得，，
，，∴．
设，，∵，∴在定义域内是增函数，
作出，的示意图，如图．
，，，∴与的图象在上只有一个交点，即在上只有一个零点，符合题意．
（2）若，则，．如（1）中示意图，是增函数，只是，而，∴与的图象在上只有一个交点，即在上只有一个零点，符合题意．
（3）若，则，，如（1）中示意图，是增函数，此时，但，而，因此在上与的图象还有一个交点，即在上有两个零点，不合题意．
综上，的取值范围是．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线：与直线平行，则实数的值是______.
【答案】2. 【详解】由题意，解得． 故答案为：2．
14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.
【答案】30.8.
【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为，
方差为
故答案为：30.8
15.函数的图象如图所示，则在区间上的零点之和为______.
【答案】.
【详解】由题意，∴，又且，∴，
∴．
由得，，，
在内有：，它们的和为．
16.过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，若，则的面积为______.
【答案】3.
【详解】不妨设在第一象限，如图，设，由题意，
∵，∴，∴．
又共线，∴，即，把代入得：
，显然，解得，∴，
∴，，∴．
故答案为：3．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：
（1）求样本学生一个月阅读时间的中位数.
（2）已知样本中阅读时间低于的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
列联表
附表：
其中：.
【答案】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为
.
所以阅读时间的中位数.
（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，
由频率分布直方图知，阅读时长大于等于的人数为人，
故列联表补充如下：
的观测值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
18.已知等差数列的公差，，且为与的等比中项.数列的通项公式为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【详解】（1）由题意得，.
∴，解得或.
又，得，故.
∴.
∴.
（2）由（1）可知，.
.
19.在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，且，，求.
【详解】（1）中，由正弦定理得
，即.
由余弦定理得，
结合，可知.
（2）在中，，即.
由已知，可得.
在中，由余弦定理得，
即，整理得，即，
∴.
∴.
20.已知椭圆：，动直线过定点且交椭圆于，两点（，不在轴上）.
（1）若线段中点的纵坐标是，求直线的方程；
（2）记点关于轴的对称点为，若点满足，求的值.
【详解】（1）设，，直线：.
由消去得.
，解得或.
由韦达定理得，.①
∵中点的纵坐标是，
∴，代入①解得或.
又或，得.
∴直线的方程为.
（2）由题意得，
由，知，，三点共线，
即.
∴，
即，解得.
将，，代入得.②
由①有，.③
将③代入②得到.
21.已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，记函数的两个极值点为，（其中），求的最大值.
【详解】（1）.
令，则.
①当或，即时，得恒成立，
∴在上单调递增.
②当，即时，
由，得或；
由，得.
∴函数在和上单调递增，
在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.
则，为的两根，
∴，.
.
令，
则.
由，得，
即，解得.
∵，
∴在上单调递减，
∴.
即的最大值为.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；
（2）若，是曲线上两点，当时，求的取值范围.
【详解】（1）将的参数方程化为普通方程为.
由，，
得点的直角坐标为，代入，得，
∴曲线的普通方程为.
可化为，即，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）将点，代入曲线的极坐标方程，
得，，
∴
.
由已知，可得，
于是.
所以的取值范围是.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知关于的不等式，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若该不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由时，.原不等式化为，
当时，，解得，综合得；
当时，，解得，综合得；
当时，，解得，综合得.
∴不等式的解集为.
（2）设函数，
画图可知，函数的最大值为.
由，解得.
（单位：万元）
0
1
2
3
4
（单位：万元）
10
15
30
35
男
女
总计
总计
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
男
女
总计
25
25
50
20
30
50
总计
45
55
100