江苏省扬州市邗江区梅岭中学2020-2021学年八年级上学期10月月考数学【试卷+答案】

这是一份江苏省扬州市邗江区梅岭中学2020-2021学年八年级上学期10月月考数学【试卷+答案】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上．）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一条直角边和它的对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
3．一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16 B．20 C．18 D．16或20
4．如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
6．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　）

A．45° B．60° C．55° D．75°
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（　　）
A．28° B．118° C．62° D．62°或118°
8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．）
9．已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠E＝50°，则∠C＝　 　．
10．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是　 　°．
11．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是　 　．

12．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是　 　．
13．如图，已知∠A＝∠DCE＝90°，BE⊥AC于点B，DC＝EC，BE＝20cm，AB＝9cm，则AD＝　 　．

14．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E，则∠EDC＝　 　°．

16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝　 　．

17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是　 　．

18．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为　 　．

三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．）
19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）线段CC′被直线l　 　；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短；
（4）△ABC的面积为　 　．

20．如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．
（1）求证：BD＝CA；
（2）若∠A＝62°，∠ABC＝75°．求∠ACD的度数．

21．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点E．
（1）求证：DB＝DP；
（2）若DB＝5，DE＝9，求CE的长．

22．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．

23．如图，点P是∠AOB内部一点，PC垂直OA于点C，PD垂直OB于点D，PC＝PD．求证：（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．

24．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．

25．“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法．
例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高．
如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理：
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE．
∵AB＝AC，
∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．
∴BF＝PD+PE．
请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由．

26．探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．

（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
27．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

28．（1）我们已经如道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图2所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程．
（2）如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE．
（3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝30，AB＝8，则PF+PC的最小值为　 　 　．



参考答案
一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上．）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
2．不能使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一条直角边和它的对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以符合题意的答案只有选项D了．
解：A、一条直角边和它的对角对应相等，利用已知的直角相等，能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、斜边和一条直角边对应相等，利用已知的直角相等，能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、斜边和一锐角对应相等，利用已知的直角相等，能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等时，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
故选：D．
3．一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16 B．20 C．18 D．16或20
【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是8，8．
4+8＞8，符合条件．成立．
故周长为：4+8+8＝20．
故选：B．
4．如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由为：由AB与DE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由AF＝DC，两边都加上FC，得到AC＝DF，利用SAS可得证；△ABF≌△DEC，理由为：由AB与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，由已知两对边相等，利用SAS可得证；△BCF≌△EFC，理由为：由全等三角形对应边相等得到FB＝EC，CB＝EF，再由FC为公共边，利用SSS即可得证．
解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC．
△ABC≌△DEF，理由为：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
△ABF≌△DEC，理由为：
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC，
∴BC＝EF，BF＝EC，
在△BCF和△EFC中，
，
∴△BCF≌△EFC（SSS）．
故选：C．
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：A．
6．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　）

A．45° B．60° C．55° D．75°
【分析】通过证△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE；运用外角的性质求解．
解：等边△ABC中，有
∵
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝60°．
故选：B．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（　　）
A．28° B．118° C．62° D．62°或118°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．
解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD＝28°，
∴顶角∠A＝90°﹣28°＝62°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD＝28°，
∴顶角∠CAB＝90°+28°＝118°．
故选：D．

8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．

二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．）
9．已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠E＝50°，则∠C＝　100°　．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠B，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
故答案为：100°．
10．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是　40°或100°　°．
【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当40°是顶角或者40°是底角两种情况．
解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
11．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是　HL　．

【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL
12．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是　20m2　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m，
∴斜边长为10m，
∵直角三角形斜边上的高是4m，
∴这个直角三角形的面积＝×10×4＝20（m2）．
故答案为：20m2．
13．如图，已知∠A＝∠DCE＝90°，BE⊥AC于点B，DC＝EC，BE＝20cm，AB＝9cm，则AD＝　11cm　．

【分析】由“AAS”可证△ECB≌△CDA，可得BE＝AC，BC＝AD，即可求解．
【解答】证明：∵∠ECB+∠DCA＝90°，∠DCA+∠D＝90°，
∴∠ECB＝∠D，
在△ECB和△CDA中，
，
∴△ECB≌△CDA（AAS），
∴BE＝AC，BC＝AD，
∵BE＝20cm，
∴AC＝20cm，
∴AD＝AC﹣AB＝11cm，
故答案为：11cm．
14．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　105°　．

【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠DCB和∠ACD即可．
解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为：105°．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E，则∠EDC＝　20　°．

【分析】由“SSS”可证△ADB≌△ADC，可得∠CAD＝∠BAD＝20°，∠ADB＝∠ADC＝90°，由DE⊥AC和三角形的内角和定理求出∠ADE＝70°，代入∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE求出即可．
解：∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝70°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝　4　．

【分析】连接BD，根据角平分线的性质可得DE＝DF，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，可得BE＝CF，再证得△AED≌△AFD，得到AE＝AF，设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程求出x，进而可求得AE．
解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4，
故答案为：4．

17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是　60°或105°　．

【分析】分类讨论：当CD＝DE时；当DE＝CE时；当EC＝CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
解：△CDE可以是等腰三角形，
∵△CDE是等腰三角形；
①当CD＝DE时，
∵∠CDE＝30°，
∴∠DCE＝∠DEC＝75°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，
②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，
∴∠DCE＝∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．
③当EC＝CD时，
∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
∴此时，点D与点A重合，不合题意．
综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．
故答案为60°或105°．
18．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为　8　．

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，
则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，
MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长＝P1P2，
∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．
故答案为：8．

三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．）
19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）线段CC′被直线l　垂直平分　；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短；
（4）△ABC的面积为　3　．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据轴对称的性质判断即可．
（3）连接CB′交直线l于点P，连接PB，点P即为所求．
（4）利用分割法求三角形面积即可
解：（1）△A′B′C′如图所示．

（2）线段CC′被直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分．

（3）点P如图所示．

（4）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2，
＝8﹣1﹣2﹣2，
＝8﹣5，
＝3．
故答案为：3．
20．如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．
（1）求证：BD＝CA；
（2）若∠A＝62°，∠ABC＝75°．求∠ACD的度数．

【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△DBC全等，进而证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）在△ABC与△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SAS），
∴BD＝CA；
（2）∵△ABC≌△DBC，
∴∠ABC＝∠DCB＝75°，
∵∠A＝62°，∠ABC＝75°．
∴∠ACB＝180°﹣75°﹣62°＝43°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝75°﹣43°＝32°．
21．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点E．
（1）求证：DB＝DP；
（2）若DB＝5，DE＝9，求CE的长．

【分析】（1）根据等角对等边证明即可；
（2）首先证明DE＝BD+EC，利用结论即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DPB＝∠PBC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBA＝∠PBC，
∴∠DPB＝∠PBA，
∴DB＝DP．

（2）解：由（1）同理可得EC＝EP，
∴DE＝DP+EP＝DB+CE，
∵DB＝5，DE＝9，
∴CE＝4．
22．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线定理得出AD＝BD，根据BC+CD+BD＝8cm求出AC+BC＝8cm，把AC的长代入求出即可；
（2）已知∠A＝40°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC＝∠A，易求∠DBC．
解：（1）∵D在AB垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长为8cm，
∴BC+CD+BD＝8cm，
∴AD+DC+BC＝8cm，
∴AC+BC＝8cm，
∵AB＝AC＝5cm，
∴BC＝8cm﹣5cm＝3cm；

（2）∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB＝AD
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
23．如图，点P是∠AOB内部一点，PC垂直OA于点C，PD垂直OB于点D，PC＝PD．求证：（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．

【分析】（1）利用HL判定Rt△OCP≌Rt△ODP，即可得出OC＝OD；
（2）依据PC＝PD，OC＝OD，即可得到点P，点O都在CD的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】证明：（1）∵PC垂直OA于点C，PD垂直OB于点D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵PC＝PD，OC＝OD，
∴点P，点O都在CD的垂直平分线上，
∴OP是CD的垂直平分线．
24．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．

【分析】（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF；
（2）可得AP是∠BAC的平分线，则∠EAP可求出．
解：（1）过点P作PD⊥BC于D，

∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝＝30°．
25．“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法．
例如：在△ABC中，AB＝AC，点P是BC所在直线上一个动点，过P点作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分别为D、E，BF为腰AC上的高．
如图1，当点P在边BC上时，我们可得如下推理：
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AC▪BF＝AB▪PD+AC▪PE．
∵AB＝AC，
∴AC▪BF＝AC▪（PD+PE）．
∴BF＝PD+PE．
请模仿上述方法，完成下列问题：如图2，在上例的条件下，当点P运动到BC的延长线上时，试探究BF、PD、PE之间的关系，并说明理由．

【分析】连接AP，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：BF＝PD﹣PE，
理由如下：
如图2，连接AP，
∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AC•BF＝AB•PD﹣AC•PE，
∵AB＝AC，
∴BF＝PD﹣PE．

26．探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．

（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝75°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝45°+x，即可求解．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）猜想∠CDE＝∠BAD，理由如下：
设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+x，
∴∠CDE＝x＝∠BAD．
27．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．

【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．



28．（1）我们已经如道：在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C，下面我们继续研究：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC沿∠BAC的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB边的点D处，如图2所示，然后把纸展平，连接DE．接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程．
（2）如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C＝2∠B．求证：AB＝AC+CE．
（3）在（2）的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC＝30，AB＝8，则PF+PC的最小值为　 　　．

【分析】（1）先根据图形折叠的性质得出∠ADE＝∠C，再根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）在AB上截取AD＝AC，连接DE，由AE是角平分线，得∠BAE＝∠CAE，由SAS可证△ADE≌△ACE，则∠ADE＝∠C，DE＝CE，由三角形外角的性质得∠B＝∠DEB，得DB＝DE，从而解决问题；
（3）在AB上截取AH＝AF，连接CH，通过SAS证明△AHP≌△AFP，得HP＝PF，则点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC最小，通过面积即可求出高．
解：（1）∠C＞∠B，
理由如下：∵点C落在AB边的点D处，
∴∠ADE＝∠C，
∵AC沿∠BAC的平分线翻折，∠ADE为△EDB的一个外角，
∴∠ADE＝∠B+∠DEB，
∴∠ADE＞∠B，
即：∠C＞∠B；
（2）如图③，在AB上截取AD＝AC，连接DE，

∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ADE 和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠ADE＝∠C，DE＝CE，
∵∠ADE＝∠B+∠DEB，且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴AB＝AD+DB＝AC+CE，
即AB＝AC+CE；
（3）如图，在AB上截取AH＝AF，连接CH，

∵AH＝AF，∠HAP＝∠FAP，AP＝AP，
∴△AHP≌△AFP（SAS），
∴HP＝PF，
∴PF+PC＝PH+PC，
∴点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC最小，
∵，
∴CH＝，
∴PF+PC的最小值为：，
故答案为：．