高中第四章 圆与方程4.1 圆的方程优秀课后复习题

4.2.3　直线与圆的方程的应用

A级　基础巩固

一、选择题

1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　B　)

A．1.4 m　　 B．3.5 m　　

C．3.6 m　　 D．2.0 m

[解析]　圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，

所以弦心距OB＝≈3.5(m)．

2．已知实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　A　)

A．30－10  B．5－

C．5  D．25

[解析]　为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝，半径为5，所以最小值为(5－)2＝30－10．

3．方程y＝－对应的曲线是(　A　)

[解析]　由方程y＝－得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．

4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　D　)

A．  B．

C．  D．π

[解析]　数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的．

5．方程＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是(　D　)

A．k＝－  B．k∈(－，)

C．k∈[－1，1)  D．k＝或－1≤k<1

[解析]　由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝．

6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(　C　)

A．24  B．16

C．8  D．4

[解析]　∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．

二、填空题

7．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则的取值范围为__[，＋∞)__．

[解析]　如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA．

设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得＝1，解得k＝．所以的取值范围是[，＋∞)．

8．已知M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是__(－3，3]__．

[解析]　数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b≤3时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．

三、解答题

9．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

[解析]　以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8．

当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为－1＝(4－1)km．

10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)

[解析]　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6)．

设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因为A，B，P在此圆上，故有

，解得．

故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0．

将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得y＝－24＋12．

答：支柱A2P2的长约为12－24 m．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知圆C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　D　)

A．9  B．14

C．14－6  D．14＋6

[解析]　圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圆心为C(－2，1)，半径为3.|OC|＝，圆上一点(x，y)到原点的距离的最大值为3＋，x2＋y2表示圆上的一点(x，y)到原点的距离的平方，最大值为(3＋)2＝14＋6．

2．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围为(　D　)

A．(，) B．(0，)

C．(0，) D．(，)∪(，＋∞)

[解析]　圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2．由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0，由l1与圆C相切，得b＝＝，由l2与圆C相切，得b＝＝．当l1，l2与圆C都外离时，b<.所以，当l1，l2与圆C“平行相交”时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)．

3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　B　)

A．10  B．20

C．30  D．40

[解析]　圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×10×4＝20．

4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　A　)

A．  B．

C．(6－2)π  D．

[解析]　原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为，面积最小为，故选A．

二、填空题

5．某公司有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于__B景点在小路的投影处__．

[解析]　所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x轴，过B点与x轴垂直的直线为y轴上建立直角坐标系．由题意，得A(，)、B(0，2)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2．由A，B在圆上，得，或，由实际意义知．∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0，0)，∴观景点应设在B景点在小路的投影处．

6．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是__[0，]__．

[解析]　首先集合A，B实际上是圆上的点的集合，即A，B表示两个圆，A∩B≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即≤2，整理成关于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤．

C级　能力拔高

1．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h．

问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)

[解析]　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252．

直线AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0．

设O到AB距离为d，则d＝＝24<25．

所以外籍轮船能被海监船监测到．

设监测时间为t，则t＝＝(h)．

答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h．

2．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6m，行车道总宽度BC为2m，侧墙EA，FD高为2m，弧顶高MN为5m．

(1)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；

(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m，请计算车辆通过隧道的限制高度是多少？

[解析]　(1)由题意得，则E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3)，

由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，

因为F，M在圆上，所以，

解得b＝－3，r2＝36．

所以圆的方程为x2＋(y＋3)2＝36．

(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5，

将P的横坐标x＝代入圆的方程，得()2＋(y＋3)2＝36，

得y＝2或y＝－8(舍)，

所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．

答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．