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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品练习
展开4.3.2 对数的运算
A级 基础巩固
一、选择题
1.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是 ( B )
A.logab·logcb=logca
B.logab·logca=logcb
C.loga(bc)=logab·logac
D.loga(b+c)=logab+logac
2.如果lgx=lga+2lgb-3lgc,则x等于 ( C )
A.a+2b-3c B.a+b2-c3
C. D.
[解析] lgx=lga+2lgb-3lgc=lg,
∴x=,故选C.
3.已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为 ( A )
A.3 B.8
C.4 D.log48
[解析] x+2y=log23+2log4=log49+log4()2
=log4(9×)=log464=3,故选A.
4.若log34·log8m=log416,则m等于 ( D )
A.3 B.9
C.18 D.27
[解析] 原式可化为:log8m=,∴log2m=2log43,
∴m=3,m=27,故选D.
5.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-等于 ( C )
A. B.
C. D.
[解析] log7[log3(log2x)]=0,则log3(log2x)=1,log2x=3,x=8,因此x-=.故选C.
6.已知2a=5b=M,且+=2,则M的值是 ( B )
A.20 B.2
C.±2 D.400
[解析] ∵2a=5b=M,∴a=log2M=,
b=log5M=,
∴=,
=,∴+=+===2,
∴2lgM=lg20,∴lgM2=lg20,
∴M2=20,
∵M>0,∴M=2.
二、填空题
7.2log525+3log264-8ln1=__22__.
[解析] 原式=2×2+3log226-8·ln1=4+3×6-0=22.
8.化简log2(2+)+log2(2-)=__0__.
[解析] log2(2+)+log2(2-)
=log2(2+)·(2-)=log21=0.
三、解答题
9.计算:(1)(log33)2+log0.25+9log5-log1;
(2)lg25+lg8+lg5·lg20+(lg2)2.
[解析] (1)(log33)2+log0.25+9log5-log1=()2+1+9×-0=+1+=.
(2)原式=lg25+lg8+lg·lg(10×2)+(lg2)2=lg25+lg4+(1-lg2)(1+lg2)+(lg2)2=lg(25×4)+1-(lg2)2+(lg2)2=3.
B级 素养提升
一、选择题
1.若xlog34=1,则4x+4-x的值为 ( B )
A. B.
C.2 D.1
[解析] 由xlog34=1得x=log43,所以4x+4-x=3+=,故选B.
2.lg8+3lg5的值为 ( D )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[解析] lg8+3lg5=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3lg10=3,故选D.
3.已知lga=1.63,lgb=1.15,lgc=4.11,则的值为 ( D )
A.-2 B.2
C.100 D.
[解析] ∵lg=2lga-lgb-lgc
=2×1.63-1.15-4.11=-2.
∴=10-2,
∴=.故选D.
4.= ( D )
A.2 B.
C.1 D.
[解析] 由公式loganbm=logab,得
原式===.
二、填空题
5.lg+2lg2-()-1=__-1__.
[解析] lg+2lg2-()-1=lg+lg4-2=-1.
6.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则log(abc)x=__1__.
[解析] ∵logax==2,∴logxa=.同理logxc=,logxb=.
∴logabcx===1.
三、解答题
7.已知loga2=m,loga3=n.
(1)求a2m-n的值;
(2)求loga18.
[解析] (1)因为loga2=m,loga3=m,
所以am=2,an=3.
所以a2m-n=a2m÷an=22÷3=.
(2)loga18=loga(2×32)=loga2+loga32=loga2+2loga3=m+2n.
C级 能力拔高
1.若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
[解析] 原方程可化为2(lgx)2-4lgx+1=0,设t=lgx,
则原方程化为2t2-4t+1=0.
所以t1+t2=2,t1t2=.
由已知a,b是原方程的两个实根,
则t1=lga,t2=lgb,所以lga+lgb=2,lga·lgb=.
所以lg(ab)·(logab+logba)
=(lga+lgb)(+)
=
=(lga+lgb)·
=2×=12.
2.已知3x=4y=6z.
(1)若z=1,求(x-1)(2y-1)的值;
(2)若x,y,z为正数,求证:+=.
[解析] (1)由3x=4y=6得x=log36,y=log46,
所以(x-1)(2y-1)=(log36-1)(2log46-1)
=log32·log49=·=1.
(2)证明:设3x=4y=6z=m(m>1),
则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
所以=logm3,=logm4,=logm6.
又因为2logm3+logm4=logm36=2logm6,所以+=.