高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念综合训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念综合训练题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式正确的是( )
A.eq \r(6,－32)＝eq \r(3,－3) B.eq \r(4,a4)＝a
C.eq \r(6,22)＝eq \r(3,2) D．a0＝1
2．若指数函数f(x)的图象经过点(－1,3)，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
3．下列函数中，满足f(x＋1)＝eq \f(1,2)f(x)的是( )
A．f(x)＝4x B．f(x)＝4－x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝2－x
4．已知指数函数f(x)＝(a－2)x，且f(2 019)＞f(2 020)，则实数a的取值范围是( )
A．(2,3) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
5．若a>1，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
6．设a＝22.5，b＝2.50，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
7．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
8．函数f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)的奇偶性是( )
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列各式中正确的是( )
A．a＝eq \r(3,a2) B.eq \r(3,－27)＝(－27)
C．a＝－eq \r(3,a2) D．(5)＝25
10．下列结论正确的是( )
A．对于x∈R，恒有3x>2x
B．y＝(eq \r(2))－x是减函数
C．对a>1，x∈R，一定有ax>a－x
D．y＝2|x|是偶函数
11．已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的有( )
A．2a>2b B.eq \f(1,a)C．a>b D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a12．已知实数a，b满足等式2020a＝2021b，下列选项有可能成立的是( )
A．0C．0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．8×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6＝________.
14．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝a1－2x－3过定点________．
15．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
16．已知函数f(x)＝3|x＋a|(a∈R)满足f(x)＝f(2－x)，则实数a的值为________；若f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列各式的值：
(1) eq \r(x－y2)；
(2) eq \r(5＋2\r(6))－eq \r(6－4\r(2))＋eq \r(7－4\r(3)).
18．(12分)已知函数f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]，求f(x)的最大值与最小值．
19．(12分)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,10))).
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若－eq \f(1,6)≤f(x)≤0，求实数x的取值范围．
21．(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋eq \f(a,2x)，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用单调性定义给予证明．
(3)求函数f(x)的值域．
22．(12分)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \f(x,3)－2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
章末质量检测(三) 指数运算与指数函数
1．解析：eq \r(6,－32)＝eq \r(6,32)＝eq \r(3,3)，eq \r(4,a4)＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．
答案：C
2．解析：依题意设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a－1＝3，得a＝eq \f(1,3)，故f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是减函数．故选D.
答案：D
3．解析：f(x＋1)＝2－(x＋1)＝eq \f(1,2)×2－x＝eq \f(1,2)f(x)．故选D.
答案：D
4．解析：由题意知函数f(x)在R上单调递减，所以0答案：A
5．解析：因为a>1，所以f(x)是增函数，g(x)的图象与y轴上的交点为(0，a)(a>1)，故只有A项正确．
答案：A
6．解析：因为a＝22.5>1，b＝2.50＝1，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2.5<1，所以a>b>c.
答案：C
7．解析：由eq \r(x－1)≥0且y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是减函数，知0答案：B
8．解析：因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(2－x－1·2x,2－x＋1·2x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－eq \f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．故选A.
答案：A
9．解析：A中，a＝a＝eq \r(3,a2)，A正确；B正确，(－27)＝－3，eq \r(3,－27)＝－3；C中，a＝eq \f(1,\r(3,a2))，C错误；D中，(5)＝5eq \r(2)×eq \r(2)＝52＝25，D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：A中，当x<0时，2x>3x，A错误；B中，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x在R上单调递减，B正确；C中，当x＝0时，ax＝a－x＝1，C错误；D中，符合偶函数的定义，D正确．故选BD.
答案：BD
11．解析：A中，函数y＝2x在R上是增函数，∵a>b，∴2a>2b，A正确；B中，当a＝2>b＝－1时，eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)>eq \f(1,b)＝－1，B错误；C中，函数y＝x在R上是增函数，∵a>b，∴a>b，C正确；D中，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上是减函数，∵a>b，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a答案：ACD
12．解析：实数a，b满足等式2020a＝2021b，即y＝2020x在x＝a处的函数值和y＝2021x在x＝b处的函数值相等，由图可知A、B均有可能成立．
故选AB.
答案：AB
13．解析：原式＝2×2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,3)×3\f(1,2)))6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.
答案：110
14．解析：由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝a－3＝1－3＝－2，所以f(x)过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－2)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－2))
15．解析：当0要使得y＝2a与y＝|ax－1|有两个交点，
需0<2a<1，故0当a>1时，如图(2)所示，
由于y＝2a>2，所以y＝2a与y＝|ax－1|不存在两个交点，故a的取值范围为0答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
16．解析：(1)∵f(x)＝f(2－x)，取x＝0得，f(0)＝f(2)，
∴3|a|＝3|2＋a|，即|a|＝|2＋a|，解得a＝－1；
(2)由(1)知f(x)＝3|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1，x≥1，,31－x，x<1，))
f(x)在(－∞，1)上单调递减，
在[1，＋∞)上单调递增．
∵f(x)在[m，＋∞)上单调递增，
∴m≥1，m的最小值为1.
答案：－1 1
17．解析：(1) eq \r(x－y2)＝|x－y|，
当x≥y时， eq \r(x－y2)＝x－y；
当x＜y时， eq \r(x－y2)＝y－x.
(2)原式＝eq \r(\r(3)＋\r(2)2)－eq \r(2－\r(2)2)＋eq \r(2－\r(3)2)＝eq \r(3)＋eq \r(2)－(2－eq \r(2))＋2－eq \r(3)＝2eq \r(2).
18．解析：令t＝3x，因为x∈[－1,2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，9)).
又因为y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，
所以当t＝1时，此时x＝0，f(x)取最小值3；
当t＝9时，此时x＝2，f(x)取最大值67.
19．解析：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f2＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝0，,a2－1＝2.))
∴a＝±eq \r(3).
又a>1，∴a＝eq \r(3)；
当0∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝2，,f2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝2，,a2－1＝0.))解得a∈∅.
综上所述，实数a的值为eq \r(3).
20．解析：(1)因为f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,10)))，所以a＋eq \f(1,5)＝－eq \f(3,10)，解得a＝－eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,4x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(1－4x,24x＋1).
f(x)的定义域为R.
因为f(－x)＝eq \f(1,4－x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(4x,4x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(4x－1,24x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为－eq \f(1,6)≤f(x)≤0，所以－eq \f(1,6)≤eq \f(1,4x＋1)－eq \f(1,2)≤0，
所以eq \f(1,3)≤eq \f(1,4x＋1)≤eq \f(1,2)，所以2≤4x＋1≤3，
所以1≤4x≤2，所以0≤x≤eq \f(1,2)，
故实数x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
21．解析：(1)由f(x)为偶函数，得
对任意实数x都有2x＋eq \f(a,2x)＝eq \f(1,2x)＋a·2x成立，
即2x(1－a)＝eq \f(1,2x)·(1－a)，
∴1－a＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)
＝2x1＋eq \f(1,2x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2＋\f(1,2x2)))
＝(2x1－2x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))
＝(2x1－2x2)＋eq \f(2x2－2x1,2x1·2x2)
＝(2x1－2x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2x1＋x2)))
＝(2x1－2x2)·eq \f(2x1＋x2－1,2x1＋x2)，
当x11，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(3)由(2)及f(x)为偶函数知f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)在(－∞，0)上单调递减，
令t＝2x>0，则y＝t＋eq \f(1,t)≥2，
当且仅当t＝eq \f(1,t)＝1时取等号，
∴函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
22．解析：(1)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝eq \f(－x,3)－2－x.
又∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝eq \f(x,3)＋2－x.
综上所述，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－2x，x>0，,0，x＝0，,\f(x,3)＋2－x，x<0.))
(2)∵f(－1)＝eq \f(5,3)>f(0)＝0，且f(x)为R上的单调函数，
∴函数f(x)在R上单调递减．
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0得f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵函数f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)又∵函数f(x)是减函数，∴t2－2t>k－2t2.
即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq \f(1,3)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))).