人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时巩固练习，共8页。
必备知识基础练
1.已知x>2，则x＋eq \f(4,x－2)的最小值为________．
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
3．已知x，y均为正实数，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．
4．已知x，y>0，且x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为________．
5.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件
B．5 000件
C．2 500件
D．1 000件
6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.
7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．
关键能力综合练
一、选择题
1．当x>0时，y＝eq \f(12,x)＋4x的最小值为( )
A．4 B．8
C．8eq \r(3) D．16
2．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18 B．16
C．8 D．10
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
4．函数y＝eq \f(\r(x),x＋1)的最大值为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．1
5．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋eq \f(1,p)，y＝q＋eq \f(1,q)，则x＋y的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
6．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)的最小值是( )
A．3＋2eq \r(2) B．3－2eq \r(2)
C．6－4eq \r(2) D．6＋4eq \r(2)
二、填空题
7．当x＜eq \f(5,4)时，函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为________．
8．(易错题)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________．
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
三、解答题
10．(探究题)若对任意x＞0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求a的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值eq \f(1,4)
B.eq \r(a)＋eq \r(b)有最小值eq \r(2)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4
D．a2＋b2有最小值eq \f(\r(2),2)
2．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＋eq \f(1,xy)的最小值是________．
3．(命题情境—生活情境)某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
答案
必备知识基础练
1．解析：x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2，
∵x－2>0，∴x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(4)＋2＝4＋2＝6.
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时取“＝”．
答案：6
2．解析：由x(3－3x)＝eq \f(1,3)×3x(3－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋3－3x,2)))2＝eq \f(1,3)×eq \f(9,4)＝eq \f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．
答案：B
3．解析：xy＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)·\f(y,4)))≤12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(x,3)＋\f(y,4),2)))2＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝3，
当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(3,2)，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值为3.
答案：3
4．解析：∵x，y>0，
∴(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，
即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时取“＝”号，
又x＋y＝4，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).
答案：1＋eq \f(\r(3),2)
5．解析：设进货n次，则每次的进货量为eq \f(10 000,n)，一年的运费和租金为y元．
根据题意得y＝100n＋eq \f(10 000,n)≥2 000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1 000件．故选D.
答案：D
6．解析：总运费与总存储费用之和
y＝4x＋eq \f(400,x)×4＝4x＋eq \f(1 600,x)≥2eq \r(4x·\f(1 600,x))＝160，
当且仅当4x＝eq \f(1 600,x)，
即x＝20时取等号．
答案：20
7．解析：年平均利润eq \f(y,x)＝－x＋18－eq \f(25,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋18≤－2eq \r(\f(25,x)·x)＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”.
答案：8
关键能力综合练
1．解析：∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq \r(3).
答案：C
2．解析：x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝4y时，等号成立．
答案：A
3．解析：(1＋x)(1＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2＋x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋8,2)))2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B.
答案：B
4．解析：令t＝eq \r(x)(t≥0)，则x＝t2，∴y＝eq \f(\r(x),x＋1)＝eq \f(t,t2＋1).
当t＝0时，y＝0；
当t＞0时，y＝eq \f(1,\f(t2＋1,t))＝eq \f(1,t＋\f(1,t)).
∵t＋eq \f(1,t)≥2，∴0＜eq \f(1,t＋\f(1,t))≤eq \f(1,2)，当且仅当t＝1时，等号成立．
∴y的最大值为eq \f(1,2).
答案：B
5．解析：由p＋q＝1，
∴x＋y＝p＋eq \f(1,p)＋q＋eq \f(1,q)＝1＋eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)＋\f(1,q)))(p＋q)
＝1＋2＋eq \f(q,p)＋eq \f(p,q)≥3＋2eq \r(\f(q,p)·\f(p,q))＝5，
当且仅当eq \f(q,p)＝eq \f(p,q)即p＝q＝eq \f(1,2)时取等号，
所以B选项是正确的．
答案：B
6．解析：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))(a＋2b＋c)＝4＋eq \f(2b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(2b,c)≥4＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(2b,c))＝6＋4eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)，eq \f(c,b)＝eq \f(2b,c)时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立．
答案：D
7．解析：∵x＜eq \f(5,4)，∴4x－5＜0，
∴y＝4x－5＋eq \f(1,4x－5)＋3＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3
≤－2eq \r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1，
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．
答案：1
8．易错分析：易错解为eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥2eq \r(2xy)·2eq \r(\f(1,xy))＝4eq \r(2).在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2eq \r(2xy)，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥2eq \r(\f(1,xy))，但这两次取“＝”分别需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．
解析：∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋eq \f(x,y)＋eq \f(2y,x)≥3＋2eq \r(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(x,y)＝\f(2y,x)，即x＝\r(2)y时，取“＝”)).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝1，,x＝\r(2)y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)－1，,y＝1－\f(\r(2),2).))
∴当且仅当x＝eq \r(2)－1，y＝1－eq \f(\r(2),2)时，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)有最小值，为3＋2eq \r(2).
答案：3＋2eq \r(2)
9．解析：设水池池底的一边长为x m，则其邻边长为eq \f(4,x) m，则总造价为：
y＝120×4＋80×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2×\f(4,x)))×2＝480＋320eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≥480＋320×2eq \r(x×\f(4,x))＝1 760.
当且仅当x＝eq \f(4,x)即x＝2时，y取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：1 760
10．解析：设y＝eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，
∵x＞0，∴x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．
∴y≤eq \f(1,5)，即ymax＝eq \f(1,5).∴a≥eq \f(1,5).
学科素养升级练
1．解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1；∴1＝a＋b≥2eq \r(ab)；∴ab≤eq \f(1,4)(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立)；
∴ab有最大值eq \f(1,4)，∴选项A正确；
(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)≤1＋2·eq \f(a＋b,2)＝2.(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立)，所以eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2)，∴B错误；
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,ab)≥4，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4，∴C正确；
a2＋b2≥2ab,2ab≤eq \f(1,2)，∴a2＋b2的最小值不是eq \f(\r(2),2)，∴D错误．
故选：AC.
答案：AC
2．解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤eq \f(1,2)，当且仅当“x＝eq \f(y,2)＝eq \f(1,2)”时取等号，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＋eq \f(1,xy)≥2eq \r(\f(1,x)·\f(2,y))＋eq \f(1,xy)＝eq \f(1,xy)＋2eq \r(\f(2,xy))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,xy))＋\r(2)))2－2≥(eq \r(2)＋eq \r(2))2－2＝6，当且仅当“x＝eq \f(y,2)＝eq \f(1,2)”时取等号，故答案为：eq \f(1,2)，6.
答案：eq \f(1,2)，6
3．解析：设2021年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1)，
又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元，
∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋m＋1))＋29，
∵m≥0，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，
当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
知识点一
用基本不等式求最值
知识点二
基本不等式的实际应用