人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和学案

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某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？原来有多少根钢管？
[提示] 78 39
知识点1 等差数列的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝An2＋Bn＋C，其中A，B，C为常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？
[提示] 当C＝0时，该数列是以A＋B为首项，2A为公差的等差数列；当C≠0时，该数列不是等差数列(上述内容解答了教材第25页[探索与研究](2))．
由此，我们得到等差数列的另一种判定方法——前n项和公式法．
拓展：等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}一定不是等差数列．( )
(3)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
知识点2 等差数列前n项和的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式不难推证等差数列的前n项和具有如下性质：
(1)项数的“等和”性质：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(nam＋an－m＋1,2)．
(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．
运用Sn＝eq \f(na1＋an,2)及等差中项的有关性质，可以得到：
S2n－1＝eq \f(2n－1a2n－1＋a1,2)＝(2n－1)an，即S2n－1＝(2n－1)an；
S2n＝eq \f(2nan＋an＋1,2)＝n(an＋an＋1)，即S2n＝n(an＋an＋1)．
(3)与项数有关的“奇偶”性质：
①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1)，eq \f(am,bn)＝eq \f(2n－1,2m－1)·eq \f(S2m－1,T2n－1)．
(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．
(6)由公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)得eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．
由等差数列的函数特性知，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(Sn,n)))(n∈N＋)在一条直线上．
从而，eq \f(Sn,n)－eq \f(Sm,m)＝eq \f(n－m,2)d(m，n∈N＋)．
2．已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝25，则S7等于( )
A．5 B．15 C．30 D．35
D [因为{an}为等差数列，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝25，得a4＝5，所以S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝35．故选D．]
类型1 等差数列前n项和Sn中基本量的计算
【例1】 在等差数列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31．
[解] (1)∵Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8a1＋28d＝48，,12a1＋66d＝168，))
解方程组得a1＝－8，d＝4．
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝44．
(3)S31＝eq \f(a1＋a31,2)×31＝a16×31＝3×31＝93．
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
[跟进训练]
1．在等差数列{an}中．
(1)a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n．
[解] (1)由题意，得Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)－\f(3,2))),2)＝－5，解得n＝15．
又a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，
∴d＝－eq \f(1,6)．
(2)由已知，得S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，))
解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝5，,a1＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝7，,a1＝－1.))
类型2 等差数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，则S3m＝________；
(2)已知等差数列{an}中，若a1 011＝1，则S2 021＝________；
(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋2,n＋3)，则eq \f(a5,b5)＝________．
(1)210 (2)2 021 (3)eq \f(5,3) [(1)法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma1＋\f(mm－1,2)d＝30， ①,2ma1＋\f(2m2m－1,2)d＝100， ②))
②－①，得ma1＋eq \f(m3m－1,2)d＝70，
所以S3m＝3ma1＋eq \f(3m3m－1,2)d
＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ma1＋\f(m3m－1,2)d))＝3×70＝210．
法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
所以30、70、S3m－100成等差数列．
所以2×70＝30＋S3m－100．所以S3m＝210．
法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d，
所以eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq \f(d,2)．
即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))构成首项为a1，公差为eq \f(d,2)的等差数列．
依题中条件知eq \f(Sm,m)、eq \f(S2m,2m)、eq \f(S3m,3m)成等差数列，
所以2·eq \f(S2m,2m)＝eq \f(S3m,3m)＋eq \f(Sm,m)．
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)
＝210．
(2)法一：∵a1 011＝a1＋1 010d＝1，
∴S2 021＝2 021a1＋eq \f(2 021×2 020,2)d
＝2 021(a1＋1 010d)＝2 021．
法二：∵a1 011＝eq \f(a1＋a2 021,2)，∴S2 021＝eq \f(a1＋a2 021,2)×2 021＝2 021a1 011＝2 021．
(3)法一：eq \f(a5,b5)＝eq \f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq \f(\f(a1＋a9,2)×9,\f(b1＋b9,2)×9)＝eq \f(S9,T9)＝eq \f(2×9＋2,9＋3)＝eq \f(5,3)．
法二：∵eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋2,n＋3)＝eq \f(n2n＋2,nn＋3)，
∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴eq \f(a5,b5)＝eq \f(20,12)＝eq \f(5,3)．]
通过一题多解可以清晰地看到，在解决等差数列问题时，等差数列前n项和的性质，起到了简化运算的作用.
[跟进训练]
2．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n－2)，则eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝__________．
eq \f(41,78) [因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝eq \f(a10＋a11,b10＋b11)＝eq \f(10a10＋a11,10b10＋b11)＝eq \f(S20,T20)＝eq \f(2×20＋1,4×20－2)＝eq \f(41,78)．]
类型3 等差数列前n项和的最值问题
1．对于等差数列{an}而言，若a10，其前n项和Sn有最大还是最小值？若a1>0，d0，d0，a140，d