高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数第1课时学案及答案

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在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫作最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
知识点1 函数的极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
1．极大值一定比极小值大吗？
[提示] 不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系．
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
知识点2 函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0．
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9．
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a