人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.1 等比数列第1课时学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.1 等比数列第1课时学案，共8页。
第1课时 等比数列的定义
有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1 mm)
这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：
1，2，4，8，16，32，64，128，…
问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？
[提示] 从第2项起，后一项是前一项的2倍；等比数列．
知识点1 等比数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．
1．在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？
[提示] 一定不能为0．
拓展：对等比数列的定义的理解
(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．
(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．
(3)判断一个数列是否为等比数列，主要是利用等比数列的定义，即验证其通项是否满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数，n≥2)．
(4)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列．( )
(2)常数列一定是等比数列．( )
(3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 等比数列的通项公式及其推广
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*．
2．等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
[提示] 不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．
2．(1)已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1D．an＝3·2n－1
(2)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝________．
(1)C (2)eq \f(1,2) [(1)由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1．
(2)法一：∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝eq \f(1,4)，②
∴②÷①得：q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2)．
法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝eq \f(1,8)⇒q＝eq \f(1,2)．]
知识点3 等比数列的单调性
等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
(1)当q>1，a1>0或0