高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.4 数列的应用学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.4 数列的应用学案设计，共13页。


5.4　数列的应用
学 习 任 务
核 心 素 养
1．正确理解分期付款的两种计算方式．(重点)
2．了解政府支出的“乘数”效应的相关知识．(重点)
3．能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题．(难点、易错点)
1．通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理数学运算的素养．
2．借助数列的递推关系解决数列问题，培养数学建模的素养．


我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
知识点1　分期还款与数列
1．等额本金还款法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．
假如贷款本金为A0元，分成m期偿还，并且每一期的利率为r(r>0)，记每期还款的钱数构成的数列为a1，a2，…，am，则第n期所要还的钱数an的表达式为

即每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．
等额本金还款问题实际上就是等差数列问题，由于数列{an}为递减数列，所以还款金额逐月递减．
2．等额本息还款法
(1)现值与未来值
经济学中，现值是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，俗称“本金”，也称折现值，通常记作A0．未来值又称终值或本利和，是指现在一定量的资金在未来某一时点上的价值，通常记作A．
若记现在的A0元相当于n年后的A元，银行存款的年利率为r(r>0)且每年结算一次利息(不计利息税，下同)，则A0(1＋r)n＝A，即A0＝．
(2)等额本息还款法
“等额本息还款法”是把贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到每一期中，每一期的还款额是固定的．若贷款时的资金A0元为现值，分成m期偿还，并且每一期的利率为r(r>0)，每一期的还款额为x元，则x＝．
即：每期还款额＝．
拓展：根据现值与未来值的关系可知，第n期所还的现值An＝，则现值{An}构成等比数列，根据等比数列前n项求和公式可知，Sm＝A0，解得x＝．根据指数函数的性质可知，每期还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减．
1．(对接教材P43例1)自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89)
29 000　25 901　[如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000元．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)．]
知识点2　政府支出的“乘数”效应与数列
假如政府某项支出增加A亿元，使得消费理念相同的部分受益居民将收入增加量的q%用于国内消费，产生第1轮国内消费金额为a1＝A×q%(亿元)；国内消费的金额将会产生新一轮的影响，如此下去，第n轮国内消费金额为an＝A×(q%)n(亿元)．
则经过n轮后，国内消费总金额(最初政府支出也算是国内消费)为Sn＝(亿元)．
这样，国内消费总金额Sn是政府支出A的倍，其中就是“乘数”效应中的“乘数”．
(1)政府支出的“乘数”效应问题，实际上就是等比数列前n项和问题；
(2)需要注意，在政府支出的“乘数”效应问题中，等比数列的首项为a1＝A×q%，不是A；国内消费总金额Sn＝，Sn≠．
拓展：“乘数”效应是一种宏观的经济效应与经济控制手段，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度．财政政策乘数是研究财政收支变化对国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数．政府支出乘数也会出现反向作用．如果政府支出下降，而税收和其他因素保持不变，则GDP的下降幅度将等于政府支出的变化量乘以乘数．采取扩张性政策还是紧缩性政策，在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害．
2.2020年新冠疫情期间，为了振兴当地经济，某地政府投资20亿元用于发展当地旅游经济，据调查，受惠居民将收入增加量的50%用于国内消费．
(1)政府投资金额是第二轮居民用于消费额度的多少倍？
(2)求经过10轮影响之后的国内消费总额(含最初政府投资金额，精确到1亿元)．(1－0.511≈0.990)
[解]　(1)由题意可知，第n轮的消费额an＝20×(50%)n(亿元)，∴a2＝20×(50%)2＝5(亿元)，
∴20÷5＝4，即政府投资金额是第二轮居民用于消费额度的4倍．
(2)经过10轮影响之后国内消费总额S10＝20＋20×(50%)1＋20×(50%)2＋…＋20×(50%)10＝≈40(亿元)．
知识点3　实际问题中的数列模型
等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，实际问题中常会包含若干个量，各量依次可以构成数列．通过构建数列模型即可将实际问题转化为数列问题，解决数列问题即得实际问题的答案．
等差数列模型
一般地，如果问题中各量之间依次增加(或减少)的数值相同，则该数列模型即等差数列模型，由其中增加(或减少)的量即得等差数列的公差，零存整取模型就是等差数列模型
等比数列模型
一般地，如果问题中各量之间依次增加(或减少)的倍数相同，那么该数列模型即等比数列模型，定期自动转存模型就是等比数列模型
生长模型
一般地，如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等
递推关系数列模型
一般地，如果问题中相邻两个量之间具有某种确定性的关系，构建数列后，即可得到相应的递推关系式，再由递推关系式得到通项公式，这种数列模型就是递推关系数列模型
3.5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为(　　)
A．　B．　C．　D．
B　[设每个工程队承建的基站数形成数列{an}，则由题可得an＝an－1＝an－1，
故{an}是以为公比的等比数列，可得S8＝＝10，解得a1＝．
故选B．]

类型1　等差、等比数列模型的应用
【例1】　一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．
(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？
(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．
[解]　(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则
Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)
＝－n2＋16n．
当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64．
即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．
(2)不能超过．
由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列，
则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75．
所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．

解决数列应用题的思路和方法
(1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是求Sn．
(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．
(3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．

[跟进训练]
1．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为(　　)
A．46　　　B．12　　　C．11　　　D．2
B　[根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，
设5人得到的面包数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且d>0，
又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，
则有 ，
解得a＝24，d＝6，则a－2d＝12．
即最少的一份面包个数为12，故选B．]
2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10 C．19 D．29
B　[∵把200根相同的钢管堆放成一个正三角形垛， ∴正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，
∴正三角形垛所需钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，
令Sn＝<200，解得n＝19是使得不等式成立的最大整数，此时Sn取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B．]
类型2　分期付款中的数列问题
【例2】　某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)
[解]　根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．
甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝≈42.65(万)，
而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，
那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝＝32.50(万元)，
贷款的本利和为：
1.1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，
∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．
所以，甲方案的获利较多．

1．解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决．
2．价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．

[跟进训练]
3．王某2020年12月31日向银行贷款100 000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2030年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元．
(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；
(2)求每年的还款额(精确到1元)．
[解]　(1)a2＝100 000×(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110 250－2.05m．
(2)a10＝100 000×(1.05)10－m×(1.05)9－m×(1.05)8－…－m＝0，100 000×1.0510－＝0，
解得m＝≈12 950．
类型3　复杂的数列建模问题

1．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…存在怎样的递推关系？
[提示]　An＝An－1＋An－2(n>2且n∈N＋)，A1＝A2＝1．
2．某企业投资1千万用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业竞争激烈，每年底需要从利润中拿出资金200万做科研，方能保持原有的利润增长率．试建立第n年资金an与第n－1年资金an－1间的递推关系．
[提示]　an＝an－1(1＋25%)－200．

【例3】　(对接教材P46例5)某地区位于沙漠边缘地带，人与沙漠进行着长期不懈的斗争，到2020年年底该地区的绿化率已达到30%，从2021年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．设该地区面积为1，2020年年底绿洲面积为a1＝，经过1年(即2021年年底)绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an＋1(n∈N＋)．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)至少经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%？(结果精确到1年)
[思路点拨]　在弄清问题的实际意义的基础上构造数列的递推关系，利用等比数列的定义完成等比数列的证明，进而求出数列的通项公式，列出相应的不等式求解．
[解]　(1)因为2020年年底绿洲面积为a1＝，
所以2020年年底沙漠面积为1－a1＝．
经过n－1年后绿洲面积为an，沙漠面积为1－an．
由题意得，经过n年后，
绿洲面积an＋1＝(1－an)×16%＋an(1－4%)，
即an＋1＝an＋，所以an＋1－＝．
又a1－＝－＝－≠0，
所以数列是首项为－，公比为的等比数列．
(2)由(1)知an－＝×，
所以an＝－×．
设经过n年的努力可使该地区的绿洲面积超过60%，即an＋1>1×60%，
所以－× >，所以 <．
验证n＝1，2，3，4时，都有 >．
而当n＝5时，＝<．
故至少需要5年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%．

当无法确定问题中包含的数列是等差数列还是等比数列时，可在构建数列后，建立数列的递推关系，由递推关系解决问题.其具体步骤为：
(1)结合题意构建数列模型；
(2)当不能判定数列是等差数列还是等比数列时，寻找数列的递推关系；
(3)由递推关系将原问题化归为等差数列或等比数列问题并求解；
(4)检验，得到实际问题的答案.

[跟进训练]
4．某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml．(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次操作？
[解]　(1)由题意，得b1＝＝0.65 g/ml，
a1＝＝1.55 g/ml．
当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，
an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝(an－1－bn－1)，
∴等比数列{an－bn}的公比为，
其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·．
(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9· <10－2，
∴n>1＋≈7.49，
∴至少要操作8次才能达到要求．

1．有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，已知最上面一层点了3盏，则共点盏数为(　　)
A．192　　　B．381　　　C．189　　　D．63
B　[根据题意，设每层点的灯数组成数列{an}，分析可得{an}是公比为2的等比数列，且a1＝3，则S7＝＝＝381，故选B．]
2．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为(　　)
A．20×(1.01)5万 B．20×(1.01)4万
C．20×万 D．20×万
A　[某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么
1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)，
2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2，
3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3，
4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4，
5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×(1.01)5．故选A．]
3．某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　)
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C． D．
C　[设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝．]
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过________年，剩余下的物质是原来的．
3　[经过一年，剩留物质为原来的，
经过二年，剩留物质为原来的，
经过三年，剩留物质为原来的＝，
则经过3年，剩余下的物质是原来的．]
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为________尺．
4.5　[设数列为{an}，公差为d，
a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，
S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，
∴立夏日影长为a10＝4.5．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你知道等额本金和等额本息的还款方式有何区别吗？
[提示]　
等额本息
等额本金
每期按相等的金额偿还贷款本金和利息
每期偿还相等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息
每期还款额＝贷款本金×，
每期还款利息＝剩余本金×利率，
每期还款本金＝每期还款额－每期还款利息
每期还款额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率，
每期还款本金＝，
每期还款利息＝(贷款本金－已还本金总额)×利率
本金逐期递增，利息逐期递减，每期还款相同
本金相同，利息逐期递减，每期还款逐期递减
缺点：需要付出更多的利息，前期所还的金额大部分为利息，还款期限过半后本金的比例才增加，不适合提前还款
缺点：前期还款压力较大，需要有一定经济基础，能承担前期较大的还款压力
优点：每期还款相同，方便安排收支，适合收入稳定，不允许前期还款过大的借款人
优点：相对于等额本息，总利息较少，还款金额每期递减，后期越还越轻松，前期偿还本金比例较大、利息较少，很适合提前还款
2．解数列应用题的基本步骤有哪些？
[提示]　实际应用问题已成为数学学习与研究的重要内容，数列在实际生活中的应用比较广泛，解答这类题的基本步骤是：

注意：在解决与数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数、公差或公比等基本元素．