2020-2021学年5.8 余弦函数的图像和性质教学设计

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

复习单位圆与正弦线．

教师要求学生在直角坐标系中作出单位圆，并分组分别作出，，的正弦线，小组交流．

复习正弦线，顺利引出下面的几何法作图．

新

课

新

课

新

课

这节课，将利用正弦线来做出正弦函数 y＝sin x，xR 的图象．

1. 正弦函数的图象．

第一步：平分单位圆．在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O，以 O 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A 起把圆分成12等份．

第二步：作出各角的正弦线．过圆上的各分点作 x 轴的垂线，可以得到对应于角0，，，，…，2π的正弦线．

第三步：平分坐标轴．我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，标上横坐标0，，，，…，2π．

第四步：平移正弦线．把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第五步：连线．用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y＝sin x，x[0，2 π]的图象．

第六步：平移．我们把y＝sin x， x [0，2 π]的图象沿x轴平移 ±2 π，±4 π，…就可以得到y＝sin x，xR的图象．

从图象可以看出，(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2 π，0)这五个点在确定图象形状时起着关键的作用．

例1 作函数

y＝1＋sin x，x[0，2 π]

上的简图．

解  略．

练习：教材P154，练习A组第4、5题；练习B组第3题．

2. 正弦函数的性质．

由单位圆中的正弦线得正弦函数的性质：

（1）值域：［－1，1］

当 y＝＋2 kπ，k  Z 时，y＝sin x 取得最大值1；即 y max ＝1；当 y＝－＋2 kπ，k  Z 时，y＝sin x取得最小值－1，即ymin＝－1；

（2）周期性

定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 Ｔ，使得定义域内的每一个 x 的值，都满足 f (x＋T)＝f (x)，那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数Ｔ叫做这个函数的周期．

对于一个周期函数 f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．

结论：正弦函数是一个周期函数， 2 k π (k  Z，且k≠0)都是它的周期，2 π 是其最小正周期．

（3）奇偶性

由公式sin（－x）＝－sin x得知，正弦函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．

（4）单调性

正弦函数在闭区间

［－＋2 k π，＋2 k π］(kZ)上是增函数；在闭区间

［＋2 k π，＋2 k π］(kZ)上是减函数．

例2  求使函数 y＝2＋sin x 取最大值和最小值的 的集合，并求这个函数的最大值、最小值和周期．

练习：教材 P 154，练习A组第1、2题．

例3  不求值，比较下列各对正弦值的大小：

（1）sin(－)与 sin(－)；

（2）sin 与 sin ．

师：将圆等分的份数越多，图象越精确．

因为sin(＋k  2 π)＝sin (kZ)，所以正弦函数 y＝sin x在

x(－2π，0)，(2π，4π)，(4π，6π)，…时的图象与 x (0，2 π)的形状完全一样，只是位置不同．

师：观察 y＝sin x，x [0，2π]的图象，最高点是哪个？最低点是哪个？图象与 x 轴有几个交点？分别是什么？

师问：在 x [0，2 π]这一区间上，哪几个点对图象的形状起着关键作用？有几个？

师：在精确度要求不高的情况下，“五点法”是最常用的画正弦函数图象的方法．

师生对例1小结：函数

y＝1＋sin x，x [0，2 π] 的图象是由 y＝sin x，x [0，2 π]的图象向上平移一个单位得到的．

师：复习 y＝sin x，xR图象．

（1）观察图象可知，各角的正弦线的长度都小于或等于单位圆半径长度1，这表明：正弦函数的范围是［－1，1］．

师：你能通过观察正弦函数图象得到这个性质吗？

生：因为正弦曲线分布在两条平行直线y＝1和y＝－1之间．所以正弦函数的值域是［－1，1］．

（2）由公式

sin(x＋k  2 π)＝sin x (kZ)可知：当自变量 x 的值每增加或减少2 π 的整数倍时，正弦函数的值重复出现．

由正弦曲线图象可知，当自变量x的值每增加或减少2 π 的整数倍时，正弦函数的图象重复出现．

（3）师：如何判断函数的奇偶性？

生：

偶函数  f (－x)＝f (x)，

偶函数图象关于y轴对称．

奇函数  f (－x)＝－f (x)，

奇函数图象关于坐标原点对称．

（4）随着单位圆中正弦线的变化，体会正弦函数的单调性．学生总结正弦函数的单调性．

师：在正弦函数图象上，函数单调性是如何体现出来的？

生：正弦函数在［－＋2kπ，＋2kπ］(kZ)上，图象是上升的，在［＋2kπ，＋2kπ］(kZ)上，图象是下降的．

教师将例2结合函数图象讲解，在练习后小结:函数 y＝2＋sin x， y＝2－sin x的图象与 y＝sin x的关系，求它们最大值、最小值的规律．

教师将例3结合正弦函数图象讲解如何比较函数值的大小，然后再引导学生一起写出解题步骤．

用正弦线画图的方法比较复杂，所以将它分为五个小步骤，使学生明确画图的方法．

在教师的引导下，让学生自己观察出图象的最高点，最低点，与 x 轴交点，便于记忆五个点坐标，同时为下节课利用图象研究性质打基础．

巩固“五点法”作图，并在教师引导下发现函数y＝1＋sin x 与y＝sin x图象间的关系，为例2求函数的最大值、最小值作准备．

培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃．

教师引导学生从诱导公式（数）和正弦曲线（形）两个角度探究正弦函数的值域、周期性和奇偶性等性质．

利用两个例题，使学生更好地理解函数性质的应用，进一步渗透数形结合的思想．

小

结

1．“五点法”作图；

2．正弦函数的图象和性质．

教师小结典型例题及解题规律．

利用典型题目，再次强调数形结合解题的思想．

作

业

教材P154，练习A组第3、4、5题，练习B组．

本节内容颇多，教师可根据学生情况分节与布置作业．