数学5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教案

*揭示课题

5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

*构建问题 探寻解决

问题 

在中，

       、       、       ．

拓展

将放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合，AC边在轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作

       、       、       ．

介绍

质疑

提问

引导

说明

了解

思考

回答

领会

利用

问题

引起

学生

的好

奇心

和求

知欲

变换

角度

5

*动脑思考 探索新知

概念

设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为        

；；．  

说明

 在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．             

由定义可以看出：当角的终边在轴上时，，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义．除此以外，对于每一个确定的角，三个函数都有意义．

概念

正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：

当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数．

引导

分析

讲解

说明

仔细

分析

讲解

关键

点

引导

分析

说明

思考

理解

记忆

领会

明确

理解

记忆

了解

强调

任意

角三

角函

数概

念与

锐角

三角

函数

的区

别与

相同

点

简单

介绍

三角

函数

的定

义域

学生

了解

即可

20

*巩固知识 典型例题

例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值．

分析 已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算．

解  因为，，所以，因此

， ，

    ．

质疑

分析

引领

讲解

思考

感知

领会

理解

利用

对应

例题

加深

对知

识点

的理

解记

忆

25

*运用知识 强化练习   教材练习5.3.1

已知角的终边上的点P的座标如下，分别求出角的正弦、余弦、正切值：

⑴ ；   ⑵ ；     ⑶ ．

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

45

*动脑思考 探索新知

由于，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．

当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，，所以，； 

当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，，所以，；

当角的终边在第三象限时，点P在第三象限，，所以，； 

当角的终边在第四象限时，点P在第四象限，，所以， ．

归纳

任意角的三角函数值的正负号如下图所示．

引导

分析

总结

思考

领悟

明确

记忆

分析

一种

情况

后由

学生

自我

探究

其余

形式

总结

规律

特点

帮助

学生

记忆

50

*巩固知识 典型例题

例2  判定下列角的各三角函数正负号：

（1）4327º ；   （2）．

分析  判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所在的象限．

解　（1） 因为，所以，4327º角为第一象限角，故，，．

（2）因为，所以，角为第三象限角，故，，．

例3  根据条件且，确定是第几象限的角．

分析 时，是第三象限的角、第四象限的角或的终边在y轴的负半轴上的界限角)；时，是第二或第四象限的角． 同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．

解  取角的公共范围得为第四象限的角．

质疑

引领

分析

讲解

明确

引导

讲解

观察

思考

主动

求解

理解

思考

主动

求解

安排

与知

识点

对应

的例

题巩

固新

知

结合

图形

符号

的特

点

60

*运用知识 强化练习  

教材练习5.3.2

1．判断下列角的各三角函数值的正负号：

（1）525º；（2）-235 º；（3）；（4）．

2．根据条件且，确定是第几象限的角．

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

纠错

答疑

65

*动脑思考 探索新知

探究

由于零角的终边与轴的正半轴重合，所以对于角终边上的任意点都有．因此，利用三角函数的定义，有，，．

同样还可以求得0、、、、等三角函数值．

归纳

引领

讲解

总结

思考

理解

求解

记忆

讲解

分析

一种

情况

其余

由学

生计

算填

写完

成

70

*巩固知识 典型例题

例4 求值：

    ；

分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代数运算．

解  

   =．

质疑

引领

分析

讲解

明确

观察

思考

主动

求解

理解

可以

由学

生自

我完

成组

织交

流核

对

75

*运用知识 强化练习

教材练习5.3.3

1．计算：．

2．计算：．

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

纠错

答疑

80

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？

你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

引导

提问

回忆

反思

交流

培养

学生

总结

反思

学习

过程

能力

85

*继续探索 活动探究

(1)读书部分： 教材章节5.3；

(2)书面作业： 学习与训练5.3；

(3)实践调查： 探究计算器的计算界限角的三角函数值的方法．

说明

记录

90