人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

2.3.4 两条平行线间的距离 

1.理解两条平行线间的距离公式的推导

2.会求两条平行直线间的距离．

3.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力

重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式

难点：应用距离公式解决综合问题

一、自主导学

问题：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

两条平行直线间的距离

1.  定义：夹在两平行线间的公垂线段的长.

2.  图示：

3.  求法：转化为点到直线的距离.

二、小试牛刀

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　)

A．        B．　　　C．2　   D．

一、情境导学

   前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。

思考：立定跳远测量的什么距离？

A.两平行线的距离   B.点到直线的距离    C. 点到点的距离

二、典例解析

例1.求证两条平行直线与间的距离为=

思考：两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？

跟踪训练1  两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(　　)

A.4     B.   C. D.

例2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.

求两平行直线间距离的两种思路

1.利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

2.接利直用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.

跟踪训练2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．

例3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？

变式1．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．

距离公式综合应用的三种常用类型

1最值问题.

①利用对称转化为两点之间的距离问题.

②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.

③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.

2求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.

3求方程的问题:立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)

金题典例：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．

2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？

1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　)

A．1        B．0       C．     D．3

2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

3.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________.

4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.

点到直线的距离与两条平行线间的距离

参考答案：

知识梳理

二、小试牛刀

1．D　[d＝＝.选D.]

学习过程

二、典例解析

例1.分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离

证明:在直线上任取一点P,点P到直线的距离，就是这两条平行线间的距离即
=

因为点P在直线上，所以=0,

即因此==

思考3：  [提示]　两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．

跟踪训练1  解析:因为两直线平行,所以m=2.

将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,

由两条平行线间的距离公式得d==,选D.

例2.思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程．

[解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，

又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，

解得m＝－25或m＝－9.

故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.

跟踪训练2[解]　若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1

上取点A(0,1)，

则点A到直线l2的距离d＝＝5，

∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.

∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，

l2的方程为12x－5y－60＝0.

若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，

它们之间的距离为5，满足条件．

则满足条件的直线方程有以下两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；

l1：x＝0，l2：x＝5.

例3．解析：如图，显然有0<d≤|AB|.

而|AB|＝＝3.

故所求的d的变化范围为(0,3]．

变式1．解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．

而kAB＝＝，

∴所求直线的斜率为－3.

故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

金题典例： 思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．

[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

由得正方形的中心坐标为P(－1,0)，

由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴＝，得a＝9或a＝－3，

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.

母题探究： [解]　由例题知，正方形中心坐标为P(－1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.

2． [解]　由可得交点坐标为，又正方形中心为P(－1,0)．

∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.

由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(－1,0)，

∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.

综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.

达标检测

1．【答案】A　[l1、l2的距离为d＝＝1.选A.]

2． 【答案】　5【解析】　d＝|3－(－2)|＝5.

3. 【答案】或－6　[由＝，解得m＝或m＝－6.]

4．【解析】　∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

根据两平行直线间的距离公式得＝3，

解得b＝45或b＝－33.

∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.