人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案

3.1.1椭圆及其标准方程   导学案

1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．

3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．

重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程

难点：运用标准方程解决相关问题

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．

思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

2.椭圆的标准方程

1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是(　　)

A.=1　   B.=1    C.=1 D.=1或=1

2. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A.5 B.6        C.7 D.8

3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(　　)

A.(±,0)     B.(0,±)    C. D.

一、    情境导学

         椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。

探究

    取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，

套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

     在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

      观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

           一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足，

=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，

建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为（ ,0）

椭圆的标准方程

=2.      ①

①，我们将其左边一个根式移到右边，得得

对方程两边平方，得

=

整理，得= ③

对方程③两边平方，得

=

整理得             ④

将方程④两边同除以，得

  ⑤

由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以.

观察图，你能从中找出表示，的线段吗？

由图可知，=，=c

令,那么方程⑤就是

；  (>>0)          ⑥

 称焦点在轴上的椭圆方程.

     设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2

其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：

（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？

（2）能否通过  (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？

  (>>0),称焦点在轴上的椭圆方程.

二、    典例解析

例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

(3)经过两点(2，－)，.

用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．

跟踪训练1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的

椭圆的标准方程．

例2　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．

(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．

典例解析

1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．

2．对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．

3．代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．

跟踪训练2．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8

2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值

是(　　)

A．1            B．2         C．3        D．4

3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．

4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.

参考答案：

知识梳理

1. 常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半

思考： [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.  (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

小试牛刀： 解析: (1) 易得为D选项.

(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.

(3)∵椭圆的标准方程为=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,

∴焦点坐标为.

(3)∵椭圆的标准方程为=1,∴a2=,b2=,

∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,∴焦点坐标为.

学习过程

例1[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，

b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，

解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.

又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由已知条件得解得

则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．

综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得

解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

跟踪训练1． [解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，

且c2＝25－9＝16.

设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，

故a2－b2＝16　①.

又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，

即＋＝1　②.

由①②得a2＝36，b2＝20，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.

又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

例2　 [思路探究]　(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．

(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．

(1)x2＋＝1　

[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，

又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1.]

(2)[解]　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，

∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，

∴|CM|＋|MA|＝5.

∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ，

∴b2＝a2－c2＝－1＝.

∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.

跟踪训练2． [解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．

利用中点坐标公式，得∴

∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.

将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.

故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.

达标检测

1．D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为

2a－2＝2×5－2＝8.]

2．B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知

解得k＝2.]

3．[由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.]

 4． [解]　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，

∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，

∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．

5.

解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,

从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.

又点M在AQ的垂直平分线上,

则|MA|=|MQ|,

故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.

又A(1,0),C(-1,0),

故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,

且2a=5,c=1,

故a=,b2=a2-c2=-1=.

故点M的轨迹方程为=1.