高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆导学案及答案,共7页。学案主要包含了典例解析等内容,欢迎下载使用。
3.1.2椭圆的简单几何性质(2) 导学案 1.根据几何条件求出椭圆的方程.2. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.重点:椭圆的方程及其性质的应用 难点:直线与椭圆的位置关系 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长 长轴长为2a,短轴长为2b焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)焦距 2c对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点离心率 一、典例解析例5. 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口 ABC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位另一个焦点上,由椭圆一个焦点 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点,已知 ,=2.8cm, =4.5cm,试建立适当的平面直角坐标系,求截口ABC所在的椭圆方程(精确到0.1cm)典例解析 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2等. 跟踪训练1.(1)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1例6.动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数,求动点点的轨迹。典例解析例7. 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点. 代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离.提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.跟踪训练2.若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,求实数m的取值范围. 1.已知椭圆+=1(a>b>0)与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1(a>b>0)的短轴长与+=1的短轴长相等,则( ) A.a2=15,b2=16 B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=92.若点P(a,1)在椭圆+=1的外部,则a的取值范围为( )A. B.∪C. D.3.(2018·全国高考)已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率为( )A. B. C. D.4.(2019·全国高考)已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A. B. C. D.5.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为________.6.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标.参考答案:知识梳理 学习过程例5. 解:建立如图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为 (>>0) 在Rt 中,= 有椭圆的性质 , =2 所以)=) 所以所求椭圆方程为 跟踪训练1.B [由题意,得解得因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.]例6.【解析】如图,设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合, 由此得将上式两边平方,并化简,得即: 典例解析例7. [思路探究] →→→得出结论[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0 ①.方程①的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程①有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个公共点.(2)当Δ=0,即m=±3时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.跟踪训练2.若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,求实数m的取值范围.[解] 因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1),则点(0,1)在椭圆+=1内或椭圆上时,直线与椭圆恒有公共点,所以≤1,即m≥1.当m=5时,+=1不是椭圆,它是以原点为圆心,半径为的圆.因此,m的取值范围为[1,5)∪(5,+∞). 达标检测1. D [由题意得,椭圆+=1的焦点在x轴上,且a2=25,b2=9.]2.B [由题意知+>1,即a2>,解得a>或a<-.]3. 【答案】C【解析】根据题意,可知,因为,所以,即,所以椭圆的离心率为,故选C.4. 【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得.所求椭圆方程为,故选B.法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有.在和中,由余弦定理得,又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B.5. [由 消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.∴弦长|MN|=|x1-x2|===.]6. [解] (1)将(0,4)代入C的方程,得=1,∴b=4.由e==,得=,即1-=,∴a=5,∴椭圆C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,则x1+x2=3,∴=,=(x1+x2-6)=-,即中点的坐标为.
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