数学必修52.1一元二次不等式的做法教案设计
展开一元二次方程跟的分布
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f (x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况 | 两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0) | 两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0) | 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2) |
大致图象(a>0) | |||
得出的结论 | f (0)<0 | ||
大致图象(a<0) | |||
得出的结论 | f (0)>0 | ||
综合结论(不讨论a) | a·f (0)<0 |
表二：(两根与k的大小比较)
分布情况 | 两根都小于k即x1<k，x2<k | 两根都大于k即x1>k，x2>k | 一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2 |
大致图象(a>0) | |||
得出的结论 | f (k)<0 | ||
大致图象(a<0) | |||
得出的结论 | f (k)>0 | ||
综合结论(不讨论a) | a·f (k)<0 |
表三：(根在区间上的分布)
分布情况 | 两根都在(m，n)内 | 两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种) | 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q |
大致图象(a>0) | |||
得出的结论 | f (m)·f (n) <0 | 或 | |
大致图象(a<0) | |||
得出的结论 | f (m)·f (n) <0 | 或 | |
综合结论(不讨论a) | f (m)·f (n) <0 |
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f (m)＝0或f (n)＝0，则此时f (m)·f (n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得<m<2即为所求；
(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－；②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝，当m＝－1时，根x＝－2∈(－3,0)，即m＝－1满足题意；当m＝时，根x＝3∉(－3,0)，故m＝不满足题意．综上分析，得出－3<m<－或m＝－1.
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