人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积教学设计

1．3．2　球的体积和表面积

Q

观察下面的几何体，你能求出它们的体积和表面积吗？

X

1．球的体积

球的半径为R，那么它的体积V＝__ πR3__．

2．球的表面积

球的半径为R，那么它的表面积S＝__ 4πR2__．

3．与球有关的组合体问题

(1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)；

(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a．

[归纳总结]　对球的表面积与体积公式的几点认识：

(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．

(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．

(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．

Y

1．半径为3的球的体积是 (　D　)

A．9π 　　  B．81π　　

C．27π　　 D．36π

[解析]　V＝π×33＝36π．

2．若一个球的直径为2，则此球的表面积为 (　D　)

A．2π  B．16π

C．8π  D．4π

[解析]　∵球的直径为2，∴球的半径为1

∴球的表面积S＝4πR2＝4π．

3．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的 (　C　)

A．3倍  B．3倍

C．9倍  D．9倍

[解析]　设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R′．

V＝πR3，V′＝πR′3＝27V＝27×πR3

∴R′＝3R．∴S′＝4πR′2＝36πR2．

又S＝4πR2

∴S′＝9S，故选C．

4．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．

[解析]　∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5

∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°．又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心

∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．

设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r

在Rt△O′CO中

由题设知sin∠O′CO＝＝

∴∠O′CO＝30°，∴＝cos30°＝

即R＝r

又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10．

∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(10)2＝1 200π．

球的体积为V＝πR3＝π(10)3＝4 000π．

H

命题方向1　⇨球的表面积与体积

典例1 (1)球的体积是，则此球的表面积是 (　B　)

A．12π　　　　　 B．16π　　　　　

C．　　　　　 D．

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为____．

[解析]　(1)πR3＝，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π．

(2)两个小铁球的体积为2×π×13＝，即大铁球的体积π×R3＝，所以半径为．

『规律方法』　求球的表面积与体积的方法：

(1)确定半径与球心

(2)熟记球的表面积公式S球＝4πR2与球的体积公式V球＝πR3．

〔跟踪练习1〕 

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　A　)

A．12π　　　  B．

C．8π  D．4π

[解析]　由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2．又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π．

命题方向2　⇨根据三视图计算球的体积与表面积

典例2 某个几何体的三视图如图所示(单位：m)

(1)求该几何体的表面积；

(2)求该几何体的体积．

[思路分析]　本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．

[解析]　由三视图知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成

(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆

＝×4π×12＋6×2×2－π×12

＝24＋π(m2)

(2)V＝V半球＋V正方体

＝××13＋23

＝8＋(m3)

『规律方法』　三视图中有关球的计算问题

(1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．

(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．

〔跟踪练习2〕 

某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　C　)

A．72π　　 B．48π　　

C．30π　　 D．24π

[解析]　该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积V＝V圆锥＋V半球体＝π×32×4＋×π×33＝30π．

Y 　考虑问题不周到致误

典例3 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

[错解]　如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2．

设球的半径为R

∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm．

同理，得O1A＝20 cm．

设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm．

在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，  ①

在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，  ②

联立①②可得x＝15，R＝25．

∴S球＝4πR2＝2 500π(cm)2，故球的表面积为2 500πcm2．

[错因分析]　两个平行截面可能在球心同侧，(此时OO2－OO1＝9)也可能在球心两侧(此时OO1＋OO2＝9)．

[正解]　当截面在球心同侧时，同错解

当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B．

设球的半径为R

∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm．∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm．

设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm．

在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400．在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49．

∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．

综上所述，球的表面积为2 500π cm2．

X 　几何直观与空间想象能力——切与接

常见的切与接问题：

1．球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．

2．多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．

3．球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．

典例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

[思路分析]　有关球的内切和外接问题，作出轴截面研究．

[解析]　设正方体的棱长为a，这三个球的半径分别为r1，r2，r3，球的表面积分别为S1，S2，S3．作出截面图，分别求出三个球的半径．

1.正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，有2r1＝a，所以r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．

2.球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，有2r2＝a，所以r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．

3.正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，有2r3＝a，所以r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．

综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．

『规律方法』　常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．

(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．

〔跟踪练习3〕 

设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　B　)

A．3πa2　　 B．6πa2　　

C．12πa2　　 D．24πa2

[解析]　由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线为＝a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝a，则S球＝4πR2＝4π2＝6πa2．

K

1．已知球的大圆周长为6π，则它的表面积和体积分别是 (　B　)

A．36π，144π　　　　　 B．36π，36π

C．144π，36π  D．144π，144π

[解析]　设球的半径为R，则2πR＝6π，

∴R＝3．∴球的表面积S＝4πR2＝36π；

球的体积V＝πR3＝π×27＝36π．

2．如果两个球的面积之比为8∶27，那么这两个球的体积之比为 (　C　)

A．2∶3  B．4∶9

C．16∶8  D．16∶81

[解析]　由＝得＝

∴＝，故选C．

3．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__8π__．

[解析]　如下图所示，∠SAO＝30°，∠ASB＝90°

又S△SAB＝SA·SB＝SA2＝8

解得SA＝4，所以SO＝SA＝2，AO＝＝2

所以该圆锥的体积为V＝·π·OA2·SO＝8π．