高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案及反思

3．1　直线的倾斜角与斜率

3.1.1　倾斜角与斜率

Q

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同．怎样描述这种“倾斜程度”的不同．

X

1．倾斜角

2．斜率(倾斜角为α)

Y

1．给出下列命题：

①任何一条直线都有惟一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为-30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．

正确命题的个数(　A　)

A．1个　　　　　　　 B．2个

C．3个  D．4个

[解析]　由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；

又平行于x轴的直线的倾斜角是0°

这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．

2．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　C　)

A．3  B．2

C．-2  D．不存在

[解析]　直线AB的斜率k＝＝-2．

3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于__45°__.

[解析]　设倾斜角为α，则tan α＝1

又∵0°≤α<180°，∴α＝45°．

4．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角.

[解析]　∵k2＝k MN＝＝1

∴直线l2的倾斜角为45°．

又∵l1 ，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4

∴这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°．

H

命题方向1　⇨直线的倾斜角

典例1 (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　D　)

A．0°≤β<180°　　　　　 B．15°<β<180°

C．15°≤β<180°  D．15°≤β<195°

(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为__0°或180°－α1__.

[解析]　(1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°．

(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1．

『规律方法』　1.求直线的倾斜角

(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之；

(2)先求出直线的斜率k，再由k＝tan α，求倾斜角α．

2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：

α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k的值依次为0，正值，不存在，负值．

〔跟踪练习1〕 

一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　D　)

A．α B．180°－α

C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

[解析]　解答本题可先借助直观图形，再利用倾斜角的定义求解．如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D．

命题方向2　⇨已知两点坐标求倾斜角和斜率

典例2 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

[思路分析]　(1)利用k＝及k＝tan α求解；

(2)先求出AC，BC斜率，进而求出k的范围．

[解析]　(1)由斜率公式得

k AB＝＝0.

k BC＝＝．

k AC＝＝．

倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．

又∵tan0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°．

∵tan60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°．

又∵tan30°＝

∴直线AC的倾斜角为30°．

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由k CA增大到k CB，所以k的取值范围为[，]．

『规律方法』　(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．

〔跟踪练习2〕 

求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

(1)(－3，0)，(－2，)；

(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3，4)，(－2，9)；

(4)(3，0)，(3，)．

[解析]　(1)直线的斜率k＝＝＝tan60°，

此直线的斜率为，倾斜角为60°．

(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°．

(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan135°，

此直线的斜率为－1，倾斜角为135°．

(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°．

Y 　忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误

典例3 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.

[错解]　由斜率公式可得直线AB的斜率k＝＝．

①当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°；

②当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°．

[错因分析]　当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．

[正解]　当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角为α＝90°．

当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝．

①当m>1时，k＝>0，所以直线倾斜角的取值范围是0°<α<90°．

②当m<1时，k＝<0，所以直线倾斜角的取值范围是90°<α<180°．

[警示]　在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．

〔跟踪练习3〕 

已知直线l的倾斜角α∈(60°，150°)，求直线l的斜率的取值范围．

[解析]　当α＝90°时，斜率不存在；

当α∈(60°，90°)时，k∈(，＋∞)；

当α∈(90°，150°)时，k∈．

X 　数形结合思想与代数式的几何意义

由于经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线的斜率k＝(x1≠x2)，因此，的几何意义为动点P(x，y)与定点A(－1，3)连线的斜率，表示动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率．

典例4 已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

[解析]　如图所示，直线l绕着P点，从PA旋转到PB时，与线段AB相交，又因为PA的斜率k PA＝＝5，PB的斜率k PB＝＝－，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．

跟踪练习4〕 

(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＋y1＝__7__．

(2)已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则的取值范围是____．

[解析]　(1)∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，

又P1，P2，P3都在此直线上，

故kP1P2＝kP2P3＝k，即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0．

∴x2＋y1＝7．

(2)表示直线OP的斜率，当点P与点A重合时，取最小值－；当点P与点B重合时，取最大值2.所以∈．

K

1．下图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是(　C　)

A．①　　　 B．①②　　

C．①③　　 D．②④

[解析]　①③中直线的倾斜角为α，故选C．

2．已知P1(3，5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于(　A　)

A．2  B．1

C．  D．不存在

[解析]　k＝＝2．

3．下列各组中的三点共线的是(　C　)

A．(1，4)，(－1，2)，(3，5) B．(－2，－5)，(7，6)，(－5，3)

C．(1，0)，(0，－)，(7，2) D．(0，0)，(2，4)，(－1，3)

[解析]　利用斜率相等判断可知C正确．

4．已知A(1，2＋1)，B(－1，1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为(　B　)

A．1  B．

C．  D．不存在

[解析]　∵k AB＝＝，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.其斜率k＝tan30°＝．