13.2.3《三角形内角和定理的证明及推论1、2》课件

沪科版数学八年级上册13.2.3 三角形内角和定理的证明及推论1、2新课导入讲授新课当堂练习课堂小结目录新课导入 我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的 位置，你能说明这个结论吗？如果 不移动∠A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理， 你能用自己的语言说说这一结论的 证明思路吗？你能用比较简洁的语 言写出这一证明过程吗？与同伴进 行交流. 讲授新课1知识点三角形内角和定理已知：如图1，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.图1分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA(图2)，这样 就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了 ∠2的位置.图2 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）. 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 2.三角形内角和定理的证明思路： 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等” 将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4 ①② . ∠A，∠B，∠C 是△ABC 的三个内角. （1）已知∠A=40°，∠B= ∠C，求∠B，∠C 的度数； （2）已知∠A- ∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B 的 度数； （3）已知∠A= ∠B= ∠C，求∠A，∠B，∠C 的度 数.导引：紧扣三角形内角和定理建立方程（组）求解. 解：（1）设∠ B= ∠ C=x°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴ 40+x+x=180， 解得x=70，∴∠ B= ∠ C=70° . （2） 设∠ A=x°，∠ B=y°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°， ∴ ∴∠ A=71°，∠ B=55°. （3） ∵∠A = ∠B = ∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A. 设∠ A=x°，则∠ B=2x°，∠ C=3x°， ∵∠A+ ∠B+ ∠C=180°， ∴ x+2x+3x=180. ∴ x=30. ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90° 求三角形内角的度数的方法：(1)若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；(2)若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系； 或不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解. 1 (中考·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5， 则∠C等于(　　) A．45° B．60° C．75° D．90°2 (中考·枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C， ∠A ＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为(　　) A．17° B．34° C．56° D．124°CC练一练：2知识点三角形内角和定理的推论1、2已知：直角三角形ABC中， ∠C＝90°求证： ∠A 与∠B互余.证明： ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和 定理） ∠C＝90°（已知） ∴∠A＋∠B＝90°.(等量减等量差相等) ∴∠A与∠B互余.（两角互为余角的定义） 如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平 分线，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度数．导引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE， 要求 ∠DAE的度数，需先求出∠BAD和∠BAE 的度数． 解： 在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°. 又因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠BAE＝ 在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°. 又因为AD是高， 所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°. 所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°. 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30° =90°,答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°．DE当堂练习1.求出下列各图中的x值．x=70 x=60x=30 x=50 2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280 °3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓 展【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ．课堂小结三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 °下 课