备战2022年高考数学压轴题专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟

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【题型综述】
参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：
（1） 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.
(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.
【典例指引】
类型一 参数范围问题
例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。

【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
类型二 方程中参数范围问题
例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.







【解析】（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为

因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
类型三 斜率范围问题
例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
类型四 离心率的范围问题
例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值
范围.

【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故，．
因此．

由于，，得
，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
由得，所求离心率的取值范围为．
【扩展链接】
1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦
点的弦.
3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.
4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
【同步训练】
1．已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.
【详细解析】（1）由题意得，∴.
又因为，∴.
所以椭圆的方程为.
（2）由 得.
设.所以，

2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.
(1)求顶点 的轨迹方程；
(2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线,使得点 关于对称，求实数 的取值范围
【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求出 的取值范围.
【详细解析】（1）由题知 得 ，即 （定值）．
由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ．
∴ 顶点 的轨迹方程为 ．
（2）由
消去整理得,
∴ ，整理得： …①.
令 ，则 .
设 的中点 ，则 .
i)当 时，由题知， ．
ii)当 时，直线方程为 ，
3.已知A，B，C是椭圆C： （a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．

【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。
【详细解析】（1）由A的坐标为(2，0)，所以， ，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。
（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-2