人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4．5．2用二分法求方程的近似解        A级　基础巩固一、选择题1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)A．x1　　　 B．x2C．x3　　　 D．x4[解析]　用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．2．已知函数y＝f(x)的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　D　)A．4，4　　　　　 B．3，4C．5，4　　 D．4，3[解析]　题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D．3．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　A　)A．(1，2)　　 B．(2，3)C．(0，)　　 D．(，1)[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)单调递增，∵f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，∴在区间(1，2)内，函数f(x)存在零点，故选A．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　C　)A．1.2　　 B．1.3C．1.4　　 D．1.5[解析]　依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.55)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　C　)A．(2，2.25)　　 B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75)　　 D．(2.75，3)[解析]　因为f(2.25)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)<0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)内，选C．6．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精确度为0.1)为(　D　)A．－1.5　　 B．－1.8C．－1.6　　 D．－1.7[解析]　令f(x)＝x3＋5，易知f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1，7．二、填空题7．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算__7次__．[解析]　设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币． [解析]　将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．三、解答题9．求的近似值(精确度0.01)．[解析]　设x＝，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1，2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值(1，2)1.5f(1.5)＝1.375(1，1.5)1.25f(1.25)≈－0.046 9(1.25，1.5)1.375f(1.375)≈0.599 6(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)≈0.261 0(1.25，1.312 5)1.281 25f(1.281 25)≈0.103 3(1.25，1.281 25)1.265 625f(1.265 625)≈0.027 3(1.25，1.265 625)1.257 812 5f(1.257 812 5)≈－0.010 0(1.257 812 5，1.265 625)  由于区间(1.257 812 5，1.265 625)的长度为1.265 625－1.257 8125＝0.007 812 5<0.01，所以的近似值可以取1.26．10．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解析]　(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－，∴m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－．(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ>0符合题意，∴m＝－3．  B级　素养提升1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)[解析]　只有变号零点才能用二分法求解．故选D.2．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)A．0.9  B．0.7 C．0.5  D．0.4[解析]　因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，|0.72－0.68|＝0.04<0.1，所以零点在区间(0.68,0.72)内，故只有B符合要求．3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)A．(0,1)  B．(0,2)C．(2,3)  D．(2,4)[解析]　因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．4．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是(　　)A.  B．C.  D．(1,2)[解析]　设f(x)＝x－x，则f(0)＝1>0，f＝－＝－<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2<0，显然有f(0)f<0，故x0的取值范围为.5．(多选)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(精确度为0.05)可以是(　　)A．1.4125  B．1.375 C．1.42  D．1.3925[解析]　由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625,1.4375)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根(精确度为0.05)可以是1.4125,1.42.故选AC.6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.[解析]　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0．003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________.(精确度为0.01)[解析]　注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)<0，且|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，故方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.5625.8.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通是由焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．[解析]第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．[解析]　(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)f(2)<0，由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，所以f(1)f<0，下一个有解区间为.再取x3＝＝，得f＝>0，所以ff<0，下一个有解区间为.综上所述，得所求的实数解x0在区间内．10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.01)．[解析]　由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个．因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点值中点函数近似值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.25－0.084(0.25,0.5)0.3750.328(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021(0.25,0.28125)0.265625－0.032(0.265625,0.28125)0.2734375－0.00543(0.2734375,0.28125)——因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，所以方程的根的近似值为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375. C级　能力拔高1．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)A．[1,4]  B．[－2,1]C．[－2,2.5]  D．[－0.5,1][解析]因为第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]，第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中．2．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)A．5  B．6 C．7  D．8[解析]　开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2＜a＜3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)(n∈N*)，则n＝________.[解析]　因为函数f(x)＝logax＋x－b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝loga2＋2－b<logaa＋2－b＝3－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－b＝4－b>0，所以x0∈(2,3)，即n＝2.4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明　因为f(1)>0，所以3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.因为a＋b＋c＝0，所以－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.因为f(0)>0，所以c>0，则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.因为f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在区间和上各有一个零点，又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．