高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质教案

2.2.2　平面与平面平行的判定

Q

2011年10月16日，在日本举行的世界体操锦标赛上，中国男子体操队在男团夺冠后，队长陈一冰在吊环比赛中获得冠军，这是他第四次获得世锦赛吊环冠军．吊环项目对运动员双臂力量要求很高，所有动作均由双臂支撑完成．“水平十字”是吊环的标志性动作，要求运动员在双臂支撑下，在空中将身体舒展，所形成的平面与地面平行，身体躯干与双臂要形成“十字”形，且需静止两秒以上．在比赛中，裁判只要观察运动员双臂，躯干是否与地面平行，即可判断该动作是否标准．

X

平面与平面平行的判定定理

Y

1．若α∥β，a∥α，则a与β的关系为(　C　)

A．a∥β　　　　　　　 B．a⊂β

C．a∥β或a⊂β  D．a∩β＝A

[解析]　如图(1)所示，a⊂β

如图(2)所示，a∥β．

2．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形．则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？__是__(填“是”或“否”).

[解析]　∵四边形AA1B1B是平行四边形，

∴AB∥A1B1，

又∵A1B1⊂平面A1B1C1，

AB⊄平面A1B1C1，

∴AB∥平面A1B1C1．

同理BC∥平面A1B1C1．

又∵AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，

BC⊂平面ABC．

∴平面ABC∥平面A1B1C1．

3．已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC．

[解析]　如图所示

在△PAB中，

因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．

又AB⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC．

同理，EF∥平面ABC．

又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．

H

命题方向1　⇨两个平面平行的判定

典例1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.

[思路分析]　要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．

[解析]　如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC．

又D，E分别为BC，B1C1的中点，

所以C1E∥DB，C1E＝DB，

则四边形C1DBE为平行四边形，

因此EB∥C1D．

又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，

所以EB∥平面ADC1．

连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，

所以四边形EDBB1为平行四边形，

则ED∥B1B，ED＝B1B．

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，

所以ED∥A1A，ED＝A1A，

则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD．

又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，

所以A1E∥平面ADC1．

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．

『规律方法』　平面与平面平行的判定方法：

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．

〔跟踪练习1〕 

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC．

[解析]　∵在三角形PBD中，BN∶ND＝PQ∶QD，

∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，

同理PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD．

又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，

∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC．

而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴平面MNQ∥平面PBC．

Y 　应用定理条件不足，推理论证不严密致误

典例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CC1，DD1的中点，求证：平面EG∥平面AC．

[错解]　∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，

又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC，

∴EF∥平面AC，

同理可证，HG∥平面AC．

又EF⊂平面 EG，HG⊂平面EG，

∴平面EG∥平面AC．

[错因分析]　错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．

[正解]　∵E，F分别是AA1和BB1的中点，

∴EF∥AB，又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC，

∴EF∥平面AC．

同理可证EH∥平面AC．

又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，

∴平面EG∥平面AC．

[警示]　利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误．

X 　数学思维能力培养——存在型探索性问题

典例3 已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.

[思路分析]　解答本题应抓住BF∥面AEC．先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．

[解析]　如下图所示，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF．

∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BG∥平面AEC．同理，GF∥平面AEC，

又BG∩GF＝G．

∴平面BGF∥平面AEC，

又∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC．

∵BG∥OE，O是BD中点，

∴E是GD中点．

又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．

而GF∥CE，∴F为PC中点．

综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC．

『规律方法』　探索性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．

〔跟踪练习2〕 

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

[解析]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴QB∥PA．而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，

∴QB∥平面PAO．

连接DB，∵P，O分别为DD1，DB的中点，

∴PO为△DBD1的中位线，

∴D1B∥PO．

而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，

∴D1B∥平面PAO．

又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO．

K

1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有(　C　)

A．2对　　　 B．3对　　　

C．4对　　　 D．5

[解析]　底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多．

2．下列命题中，错误的命题是(　A　)

A．平行于同一直线的两个平面平行

B．平行于同一平面的两个平面平行

C．平行于同一平面的两直线关系不确定

D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面

[解析]　如图正方体ABCD－A1B1C1D1中

BB1∥平面ADD1A1

BB1∥平面DCC1D1

而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1．

3．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.

[解析]　∵AB与A1B1平行且相等，C1D1与A1B1平行且相等，

∴AB与C1D1平行且相等．

∴四边形ABC1D1为平行四边形．

∴AD1∥BC1．

又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1．

同理BD∥平面AB1D1．

又∵BD∩BC1＝B，

∴平面AB1D1∥平面BDC1．