高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计及反思

这是一份高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计及反思，共9页。
2.2.3　直线与平面平行的性质Q 将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．X 直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线__平行__图形语言符号语言a∥α，a⊂β，__α∩β＝b__⇒a∥b作用证明两直线__平行__ Y 1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　C　)A．0条　　　　　　　　　 B．1条C．0或1条  D．无数条[解析]　a∥α，在平面α内，n条相交直线中与直线a平行的直可能有1条，也可能没有．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c…，那么这些交线的位置关系为(　A　)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点[解析]　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥，…，故选A．3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于____.[解析]　本题考查线面平行．∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC．又∵E是AD的中点，∴EF＝AC＝．4．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D．求证：AC＝BD．[解析]　如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，∴AB∥CD．∴四边形ABDC是平行四边形．∴AC＝BD．H 命题方向1　⇨线面平行的性质定理典例1 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.[思路分析]　如何将线面平行转化为线线平行是本题关键．[解析]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l． 『规律方法』　(1)已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线．(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行．〔跟踪练习1〕 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A，N，D三点的平面交PC于点M，求证：AD ∥MN．[解析]　∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD⊂平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN.命题方向2　⇨直线与平面平行的性质定理的应用典例2 如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由.[思路分析]　要作两平面的交线，只需两平面的两个公共点，而题目中只有一个公共点B，所以要利用线面平行的性质定理作出来，然后证明．[解析]　在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．证明如下：在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC∴A1C1∥平面ABC．又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l∴A1C1∥l．又∵直线l过点B，且l⊂平面ABC．根据线面平行的性质定理，l即为所求．〔跟踪练习2〕 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．[解析]　直线l∥平面PAC，证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC．又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC．Y 　考虑问题不全面导致漏解典例3 已知BC∥平面α，D在线段BC上，A∉α，直线AB，AC，AD分别交α于点E，G，F，且BC＝a，AD＝b，DF＝c，求EG的长.[错解]　如图，AB∩AC＝A，由AB，AC确定平面β，所以BC⊂β，α∩β＝EG.因为BC∥平面α，所以BC∥GE．在△AEG中，＝＝，所以＝，即＝．所以EG＝．[错因分析]　点A的位置有三种情况：BC在A与α之间；A在BC与α之间；α在A与BC之间，错解中只考虑了第一种情况．[正解]　(1)当BC位于点A与平面α之间时，同错解．(2)当点A在BC与平面α之间时，如图①，因为BC∥平面α同理有BC∥EG，＝，即＝，所以EG＝．(3)当点A和BC位于平面α两侧时，如图②．同理有BC∥EG，＝，即＝，∴EG＝．综上所述，EG的长为或或．[警示]　对空间中点，线，面的位置关系可能出现的各种情况要考虑全面，以免漏解．〔跟踪练习3〕 如右图所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证：＝．[错解]　连接MN.因为AB∥α，CD∥α，所以AB∥CD∥MN，所以＝．[错因分析]　盲目将a∥b，b∥c⇒a∥c，迁移到线面平行关系中来，错误的由AB∥α，CD∥α，得出AB∥MN∥CD．而事实上条件中，AB与CD是“异面直线”．[正解]　如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN．因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，所以CD∥PM，所以在△ACD中，有＝．同理，在△DAB中，有＝，所以＝．[警示]　(1)平面几何中的有关结论，在空间中未经证明不能随便应用．(2)线面，面面位置关系的一些类比结论，需考虑其正确性，未经证明不可随便应用．X 　转化思想在立体几何线线与线面平行中的应用线线平行与线面平行可以相互转化：                    要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理；已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口．典例4 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. [思路分析]　由三棱柱的性质知，BF∥平面ACC1A1，平面BMF与平面ACC1A1有一个公共点M，故必有一条与BF平行的交线，则过M在平面ACC1A1内作．MN∥CE，交AE于点N，则FN为平面BMF与平面AEF的交线，若BM∥平面AEF，则BM∥FN，从而四边形BMNF应为平行四边形，由EC＝2FB＝2MN，可知M必为AC的中点．[解析]　M为AC的中点：证明如下：取AE中点N，则MN∥CE∥BF，且MN＝CE＝BF，∴四边形BMNF为平行四边形，∴BM∥NF．∵BM⊄平面AEF，NF⊂平面AEF，∴BM∥平面AEF.〔跟踪练习4〕 如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．[解析]　(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)MN∥平面PAD．证明如下：如右图所示，取PD的中点E，连接NE，AE，所以NE∥CD，NE＝CD．而CD∥AB，CD＝AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD．K 1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　B　)A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能[解析]　∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SAD＝SD，∴GH∥SD．2．对于直线m，n和平面α，下面叙述正确的是(　C　)A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n3．已知异面直线l，m，且l∥平面α，m⊂平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则直线m，n的位置关系是__相交__.[解析]　由于l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l，m异面，则直线m，n相交．4．如右图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．[解析]　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF．∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．