人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计

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2.3.2　平面与平面垂直的判定

Q
建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．

X
1．二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个__半平面__所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__棱__，这两个半平面叫做二面角的__面__
图示

平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于__棱__的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的__平面角__
图示

符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l
OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
规定
二面角的大小可以用它的__平面角__来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是__直角__的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为__α－l－β__.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角__P－l－Q__


2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作__α⊥β__．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的__横边__垂直．如图所示．

(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的__垂线__，则这两个平面垂直
图形
语言

符号
语言
l⊥α，__l⊂β__⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直

Y
1．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有(　　)对(　C　)

A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[解析]　∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．
∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．
2．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是(　C　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析]　∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于____.

[解析]　连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点．

∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD．
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝，∴tan∠A1OA＝＝．
4．

如图，在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD．
[解析]　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．

H
命题方向1　⇨面面垂直的判断
典例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．

[思路分析]　要证平面PAC⊥平面PBC，可证平面PBC内的一条直线垂直于平面PAC．题目中告诉了AB是⊙O的直径，∴∠ACB为直角．又BC⊥PA，可证得BC⊥平面PAC，即平面PAC⊥平面PBC．
[解析]　如图，连接AC，BC，∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC．

『规律方法』　证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直．
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
〔跟踪练习1〕
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M．

[解析]　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1
又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM．
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1．
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，
从而BM⊥B1M．
又A1B1∩B1M＝B，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．
命题方向2　⇨求二面角的大小
典例2 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．

(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
[思路分析]　求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
[解析]　(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°．
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°．
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°．
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°．

(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE．
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE．
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB．所以BC⊥PB．
设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，
所以PB＝a，PC＝a，
所以BE＝＝a，BD＝a．
所以sin∠BEO＝＝＝．
所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°．
所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°．

『规律方法』　1.求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．

如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．

〔跟踪练习2〕
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．

[解析]　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
设正方体的棱长为a，
则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为．
命题方向3　⇨线面、面面垂直的综合问题
典例3 如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D－AP－C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．
[思路分析]　本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应作出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．
[解析]　(1)∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝AB＝10，∴AP⊥PB．
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC．
又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC．
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴sin∠BPC＝＝．
(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM＝PA，DM与PA平行，且DM＝5，
由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC，
∵S△BCM＝S△PBC＝2，
∴VM－BCD＝VD－BCM＝×5×2＝10．
〔跟踪练习3〕
如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

[解析]　如图所示，过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM，∵平面PBC⊥平面PAC ，
故CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，连接NC，得CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，
得BC＝，CM＝，BM＝．
在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝．
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以＝，
故MN＝．
又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝．
所以二面角C－PB－A的余弦值为．
Y 　不能正确找出二面角的平面角
典例4 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，求二面角P－CD－B的大小.

[错解]　过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．
又∵PE⊂平面PAE，∴CD⊥PE，
∴∠PEA为二面角P－CD－B的平面角．
(以下略)
[错因分析]　点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．
[正解]　∵AB＝1，BC＝2，AC＝，∴BC2＝AB2＋AC2，，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．
又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
∵在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，∴∠PCA＝45°．
故二面角P－CD－B的大小为45°．
X 　直观想象能力与转化思想的应用——折叠问题
折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量，画出平面图形和空间直观图，对比分析找出其数量关系和位置关系．
典例5 如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图．
(1)求证：平面ABC⊥平面BCD；
(2)求二面角B－AD－C的大小.
[思路分析]　由AB＝BC，且∠B＝90°知，取AC中点，则BO⊥AC，从而折成直二面角后，有BO⊥平面ACD．只要在平面ACD内作OE⊥AD，则BE⊥AD，可得二面角的平面角；又∠BCD＝135°，且易知∠ACB＝45°，从而AC⊥CD．因此易证CD⊥平面ACB，从而第一问得证．

[解析]　(1)∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC．
如图，过点B作BO⊥AC，垂足为O．

∵B－AC－D是直二面角，且平面BAC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，
∴BO⊥平面ACD．
∵CD⊂平面ACD，
∴BO⊥CD．
∴CD⊥平面ACB．
又CD⊂平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD．
(2)由(1)知CD⊥CB．
则AC＝a，BD＝a，AD＝a．
又AB＝a，则∠ABD＝90°．
作BE⊥AD，则BE＝a．
由(1)知BO⊥平面ACD，则BO⊥AD，
连接OE，则∠BEO就是二面角B－AD－C的平面角．
∵AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，则BO＝a，
∴sin∠BEO＝＝·＝．
∴∠BEO＝60°，即二面角B－AD－C的大小为60°．
〔跟踪练习4〕
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．

(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．
[解析]　(1)∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．
又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．
又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．
(2)如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E．

∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．
又∵BC′∩C′D＝C′，
∴AE⊥平面BC′D．
连接BE，则BE是AB在平面BC′D上的射影，
故∠ABE就是直线AB与平面BC′D所成的角．
∵DA⊥AB，DA⊥BC′，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．
在Rt△AC′B中，AC′＝＝3．
在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3．
在Rt△C′AD中，由面积关系，得
AE＝＝＝．
∴在Rt△AEB中
sin∠ABE＝＝＝，
即直线AB与平面BC′D所成角的正弦值为．
K
1．二面角是指(　C　)
A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形
B．一个半平面与另一个半平面组成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交的平行四边形组成的图形
[解析]　根据二面角的定义可知，选C．
2．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为__60°__.
[解析]　设正四棱锥为S－ABCD，
如图所示，高为h，底面边长为a，

则2a2＝(2)2，
∴a2＝12．
又a2h＝12，∴h＝＝3．
设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．
tan∠SEO＝＝＝，∴∠SEO＝60°．
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°．
3．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　D　)
A．相等　　　　　　　　 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
[解析]　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．

4．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC．

[解析]　∵PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA．又tan∠ABD＝＝，
tan∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．