人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试教学设计

章末整合提升

专题一　⇨几何中共点、共线、共面问题　　

1.证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

2．证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

3．证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

典例1 如图，在底面是平行四边形的四棱锥S－ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心．求证：S，P，O，Q四点共面.

[解析]　如图，连接SP，SQ，并分别延长交AD，BC于点M，N，连接MN．

因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN．

由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN，

所以MN⊂平面SMN，所以O∈平面SMN．

又P∈SM，Q∈SN，SM⊂平面SMN，SN⊂平面SMN，

所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，

所以S，P，O，Q四点共面．

专题二　⇨线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明　　

在这一章中，我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的，线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化．做题时要充分运用它们之间的联系，挖掘题目提供的有效信息，综合运用所学知识解决此类问题．

典例2在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；

(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．

[解析]　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE．

因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．

同理可得BD⊥AC．

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，

因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．

(2)设FC的中点为I，连接GI，HI．

在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF．

又EF∥DB，所以GI∥DB．

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，

又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．

因为GH⊂平面GHI，

所以CH∥平面ABC．

专题三　⇨空间角的计算　　

空间中的角包括异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角，如何准确找出或作出空间角的平面角，是解答有关空间角问题的关键，空间角的题目一般都是多种知识的交汇点，因此它也是高考常考查的内容之一．

典例3 如图，在Rt△AOB中∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，动点D在斜边AB上.

 (1)求证：平面COD⊥平面AOB；

(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；

(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．

[解析]　(1)由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角，

又∵二面角B－AO－C是直二面角．

∴CO⊥BO．

又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB．

又CO⊂平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB．

(2)作DE⊥OB，垂足为E，连接CE(如图)，则DE∥AO．

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．

在Rt△OCB中，CO＝BO＝2，OE＝BO＝1，

∴CE＝＝．

又DE＝AO＝，

∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝＝．

即异面直线AO与CD所成的角的正切值是．

(3)由(1)知，CO⊥平面AOB，

∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，

且tan∠CDO＝＝．

∴当OD最小时，tan∠CDO最大，

这时，OD⊥AB，垂足为D，

OD＝＝，tan∠CDO＝，

即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是．

专题四　⇨数学思想　　1.转化思想

转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题，空间几何问题转化为平面几何问题．本章中涉及到转化与化归思想的知识有：(1)位置关系的转化，即平行与平行的转化、垂直与垂直的转化、平行与垂直的转化；(2)量的转化，如点到面距离的转化；(3)几何体的转化，即几何体补形与分割．

典例4 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD， AB∥CD，DC⊥AC．

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．

[解析]　(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC．

又因为DC⊥AC．所以DC⊥平面PAC．

(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．

因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．

所以AB⊥平面PAC．所以平面PAB⊥平面PAC．

(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：

如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF．

又因为E为AB的中点，所以EF∥PA．

又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF．

2．函数与方程思想

几何体中的线面位置关系以及几何体的体积和截面积的计算，可以转化为函数或方程(组)的解来解答．

典例5 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜).

(1)求MN的长；

(2)求a为何值时，MN的长最小．

[思路分析]　取a作变量，利用立体几何知识，建立关于MN的长的表达式，利用函数与方程思想求得MN的长的最小值．

[解析]　(1)如图所示，作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得四边形MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ．

∵CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，

∴AC＝BF＝，

∴由MP∥AB，NQ∥EF得

＝，＝，即CP＝BQ＝．

∴MN＝PQ＝

＝

＝＝(0＜a＜)．

(2)由(1)得MN＝，

又0＜a＜，

所以，当a＝时，MN取最小值.故M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为．