高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

这是一份高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案，共8页。
3．3　直线的交点坐标与距离公式3.3.1　两条直线的交点坐标3.3.2　两点间的距离公式Q 小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．X 1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组．当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组__无__解时，l1与l2平行；当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合．2．两点间的距离公式两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____．3．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．(2)步骤：①建立__坐标系__，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．Y 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　B　)A．(3，2)　　　　　　　 B．(2，3)C．(－2，－3)  D．(－3，－2)[解析]　解方程组，得.故选B．2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝__5__.[解析]　|MN|＝＝5．3．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.[解析]　由方程组，解得．∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－(－)＝－3[x－(－)]．即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0．4．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　B　)A．2x＋y＝0  B．2x－y＝0C．x＋2y＝0  D．x－2y＝0[解析]　解法1：由，解得，∴kl＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0．解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0．∵l过原点，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0．H 命题方向1　⇨两直线的交点问题典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0．[思路分析]　题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．[解析]　(1)解方程组，得，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．(3)解方程组，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合． 『规律方法』　两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．〔跟踪练习1〕 (1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(　C　)A．(－1，)　　　 B．(1，)C．(，1)  D．(－1，－)(2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为(　C　)A．6  B．－24C．±6  D．以上都不对[解析]　(1)联立方程组，解得，故交点为(，1)．(2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.命题方向2　⇨平面上两点间的距离典例2 已知A(a，3)和B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值.[思路分析]　利用两点间距离公式列方程解得a的值．[解析]　∵|AB|＝＝5，即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝． 『规律方法』　两点间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔跟踪练习2〕 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__(－5，0)或(11，0)__．[解析]　设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10得＝10解得x＝11或x＝－5．∴点P的坐标为(－5，0)或(11，0)．典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0).(1)判定△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解析]　(1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝＝＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5． 『规律方法』　三角形形状的判定方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔跟踪练习3〕 已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)则△ABC的形状为(　C　)A．等边三角形　　　　 B．直角三角形C．等腰三角形  D．等腰直角三角形[解析]　∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，|BC|＝＝2，∴|AC|＝|BC|．又∵A，B，C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形．Y 　因考虑问题不全面而致误典例4 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为(　D　)A．a≠±1　　　　　 B．a≠1且a≠－2C．a≠－2  D．a≠±1且a≠－2[错解]　选A或选B[错因分析]　在解题过程中，若由①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．[解析]　因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(1)若三条直线交于一点，由解得，将l2，l3的交点(－a－1，1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，当a＝1时，l1与l2重合．(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，当a＝1，l2与l3重合．(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2．[正解]　D〔跟踪练习4〕 若三条直线l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形，求m的值．[错解]　当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l1与l3不平行．当l1∥l2时，m＝4；当l2∥l3时，m＝－1．[错因分析]　错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．[正解]　显然l1与l3不平行，当l1∥l2或l2∥l3时，不能构成三角形，此时对应m的值分别为m＝4，m＝－1；当直线l1，l2，l3经过同一个点时，也不能构成三角形，由得，代入l2的方程，得－m＋1＝0，∴m＝1．综上可得m＝4或－1或1．[警示]　解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．X 　直经方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．(1)已知l：y＝kx＋b，与l平行的直线方程设为y＝kx＋b1；与l垂直的直线方程设为y＝－x＋b1(k≠0)．(2)已知l：Ax＋By＋c＝0，与l平行的直线方程设为Ax＋By＋C1＝0，与l垂直的直线方程设为Bx－Ay＋C2＝0．(3)过定点P(x0，y0)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y0＝k(x－x0)．(4)与x轴交于点(x0，0)的直线方程可设为x＝my＋x0．(5)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交于点P，则过点P的直线方程设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2)．(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b．典例5 已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程.[思路分析]　可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．[解析]　解法一：解方程组：，得x＝1，y＝2，∴l1与l2的交点为(1，2)，∵直线l过点(1，2)且与直线3x＋4y－2＝0平行，∴设方程为3x＋4y＋c＝0，把(1，2)代入得：c＝－11，∴所求方程为：3x＋4y－11＝0．解法二：∵l过l1与l2的交点，∴设l的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0，即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，∵l与直线3x＋4y－2＝0平行，∴，∴λ＝10，∴l的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，即3x＋4y－11＝0．〔跟踪练习5〕 求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．[解析]　解法一：设过两直线交点的直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0．整理为一般式，得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，其斜率为－.而直线6x－7y－3＝0的斜率为，由垂直条件可得×(－)＝－1，解得λ＝2．故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2＋2×2＝0，即7x＋6y＋2＝0．解法二：将两直线方程联立得解得即两直线的交点坐标为(－2，2)．由于所求直线与直线6x－7y－3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0.而此直线过点(－2，2)，所以7×(－2)＋6×2＋m＝0，所以m＝2．故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0．K 1．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是(　B　)A．(2，－2)　 B．(－2，2)　C．(－2，1)　 D．(－1，2)[解析]　由方程组，解得，即l1与l2的交点坐标为(－2，2)．2．已知点A(2k，－1)，B(k，1)，且|AB|＝，则实数k等于(　A　)A．±3　　 　  B．3　　 　 C．－3　　 　  D．0[解析]　由题意得＝，解得k＝±3．3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　A　)A．  B． C．  D．[解析]　AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝＝，故选A．4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点__(－1，－2)__. [解析]　把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，解方程组，得，所以，不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点(－1，－2)．