人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计

3．2.2　直线的两点式和截距式方程

Q

两点确定一条直线，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的不同两点，你能求出直线l的方程吗？你能得出直线l的两点式方程吗？

X

1．直线的两点式方程

(1)定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程＝叫做直线l的两点式方程，简称两点式．

(2)说明：与坐标轴__垂直(或平行)__的直线没有两点式方程．

[归纳总结]　直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．

当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；

当y1＝y2时，直线方程为y＝y1．

2．直线的截距式方程

(1)定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a，0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程为＋＝1叫做直线l的截距式方程，简称截距式．

(2)说明：一条直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．

[归纳总结]　(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为＋＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．

(2)直线方程的截距式在结构上的特点：

直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程．

3．中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有．

此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

Y

1．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线方程的两点式是(　B　)

A．＝　　　　 B．＝

C．＝  D．＝

[解析]　由两点式方程得，直线方程为＝，故选B．

2．在x，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　A　)

A．＋＝1  B．＋＝1

C．－＝1  D．＋＝1

[解析]　由截距式方程可得，直线方程为＋＝1，故选A．

3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　A　)

A．－  B．－

C．  D．2

[解析]　直线方程为＝，

化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－．

4．点P1(5，－2)，点P2(－7，6)，则线段P1P2的中点M的坐标为__(－1，2)__.

[解析]　M(，)，即M(－1，2)．

5．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.

(1)求点C的坐标；

(2)求直线MN的方程．

[解析]　(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0．

得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．

(2)点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1，0)，

直线MN的方程是＝，

即5x－2y－5＝0．

H

命题方向1　⇨直线的两点式方程

典例1 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边所在的直线方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[解析]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0．

故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝＝－3．

∴M(，－3)，

又BC边上的中线经过点A(－3，2)．

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0．

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．

『规律方法』　对直线的两点式方程的理解：(1)方程也可写成＝，两者形式有异但实质相同；

(2)当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为零(y1＝y2)时，不能用两点式表示；

(3)如果将直线两点式转化为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．

〔跟踪练习1〕 

求经过下列两点的直线方程：

(1)A(2，5)，B(4，3)；(2)A(2，5)，B(5，5)；(3)A(2，5)，B(2，7)．

[解析]　(1)直线的两点式方程为＝，即x＋y－7＝0．

(2)由于点A与点B的纵坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程为y＝5．

(3)由于点A与点B的横坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程为x＝2.

命题方向2　⇨直线的截距式方程

典例2 直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程.

[思路分析]　由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程．

[解析]　设直线l的方程为＋＝1，

则a＋b＝12.　  ①

又直线l过点(－3，4)，∴＋＝1.　  ②

由①②解得，或．

故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，

即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0．

『规律方法』　(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

〔跟踪练习2〕 

已知直线过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．

[解析]　设直线与两坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)．

(1)当ab≠0时，直线方程为＋＝1．

由点P在此直线上，有＋＝1，①

又由已知得|a|＝|b|，②

联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1，

所以直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0．

(2)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2，3)，易知直线方程为3x－2y＝0．

综上所述，所求直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0．

Y 　忽视截距为0的情形

典例3 已知直线l过点P(2，－1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

[错解]　由题意，设直线l的方程为＋＝1，

∵直线l过点(2，－1)，∴＋＝1，

∴a＝1，则直线l的方程为x＋y－1＝0．

[错因分析]　错解忽略了过原点时的情况．

[思路分析]　截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．

[正解]　设直线l在两坐标轴上的截距为a．

若a＝0，则直线l过原点，其方程为x＋2y＝0；

若a≠0，则直线l的方程可设为＋＝1，

∵直线l过点(2，－1)，∴＋＝1，

∴a＝1，则直线l的方程为x＋y－1＝0．

综上所述，直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y－1＝0．

[警示]　(1)直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过原点的直线，解题时不要忽视截距为0的情形．

(2)直线在两坐标轴上的“截距”是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是“距离”．

〔跟踪练习3〕 

已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程．

[错解]　设l：y＝－x＋b，

令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝b．

由题意得·b·（b）＝6．

∵b>0，∴b＝4，

∴直线l的方程为y＝－x＋4．

[错因分析]　上述解法的错误主要在于“误把直线在两坐标轴上的截距当作距离”．

[正解]　设l：y＝－x＋b，

令x＝0，得y＝b；

令y＝0，得x＝b．

由题意，得·|b|·|b|＝6，

∴b2＝16，∴b＝±4．

故直线l的方程为y＝－x±4．

X 　分类讨论思想

典例4 直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程.

[解析]　设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则由已知可得，①

当a≥b时，①可化为

解得或(舍去)．

当a<b时，①可化为，

解得或(舍去)．

所以，直线l的截距方式方程为＋y＝1或x＋＝1．

『规律方法』　利用截距求面积：

(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．

(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．

〔跟踪练习4〕 

已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A(－3，4)，求直线l的方程．

[解析]　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，则|3k＋4||－－3|＝3，显然k>0时不成立．解得k1＝－，k2＝－．

所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．

K

1．下列语句中正确的是(　B　)

A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示

B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示

C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示

D．经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示

[解析]　A，D不能表示斜率不存在的直线，C不能表示k＝0或不存在的直线．

2．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　A　)

A．－　　　　　　　　 B．

C．－  D．

[解析]　由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－．

3．直线l过点M(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则直线l的方程为__2x－y＋4＝0__.

[解析]　设A(x，0)，B(0，y)．

由M(－1，2)为AB的中点，

∴，∴．

由截距式得l的方程为＋＝1，即2x－y＋4＝0．

4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为__y＝2x或－x＋y＝1__.

[解析]　当直线在两坐标轴上截距都为0时，即直线过原点，方程为：y＝2x．

当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入P(1，2)得，a＝－1，故方程为：－x＋y＝1．

5．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是__3__.

[解析]　直线AB的方程为＋＝1，

∴y＝4－，

∴xy＝x(4－x)＝4x－x2＝－(x2－3x)

＝－[(x－)2－]

＝－(x－)2＋3，

∴当x＝时，xy取最大值3．