高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精练

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是 (　B　)

A．y＝x　　 B．y＝x2

C．y＝x3　　 D．y＝x

[解析]　函数y＝x，y＝x3，y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．

2．幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 (　B　)

A．－1<m<0，0<m<1　　 B．n<－1，0<m<1

C．－1<n<0，m>1　　 D．n<－1，m>1

[解析]　当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的图象下方，∴n<－1；又0<m<1，故选B．

3．函数y＝3xα－2的图象过定点 (　A　)

A．(1，1)　　 B．(－1，1)

C．(1，－1)　　 D．(－1，－1)

[解析]　∵y＝xα的图象过定点(1，1)，∴函数y＝3xα－2的图象过定点(1，1)．

4．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2，3})的图象只可能是下面中的哪一个 (　C　)

[解析]　直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1，1≠－1．故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠．故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，2＝2．故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3．故D错．

5．已知a＝2，b＝3，c＝25则 (　A　)

A．b<a<c　　 B．a<b<c

C．b<c<a　　 D．c<a<b

[解析]　a＝2＝4，c＝25＝5，又函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，所以b<a<c．故选A．

二、填空题

6．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是__f(x)＝x－1__．

[解析]　∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1≤0，解得－1≤m≤1；

∵图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1．

7．已知函数y＝(m2－9m＋19)x2m－9是幂函数，且图象不过原点，则m＝__3__．

[解析]　由题意，得，解得m＝3．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝．

(1)求m的值；

(2)判定f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

[解析]　(1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1．

(2)由(1)知f(x)＝x－，

因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，

又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．

所以f(x)是奇函数．

(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，

则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，

因为x1＞x2＞0，

所以x1－x2＞0,1＋＞0，

所以f(x1)＞f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．

B级　素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝(m2－m＋1)x是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝ (　A　)

A．0　　 B．1

C．2　　 D．0或1

[解析]　由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0，故选A．

2．a＝1.2，b＝0.9－，c＝1.1的大小关系是 (　D　)

A．c<a<b　　 B．a<c<b

C．b<a<c　　 D．c<b<a

[解析]　∵y＝x是增函数，

∴1．2>()>1．1，即a>b>c．

3．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于 (　B　)

A．0　　 B．1

C．2　　 D．0或1

[解析]　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，

所以3m－5＜0，故m＜．

又因为m∈N，

所以m＝0或m＝1．

当m＝0时，

f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；

当m＝1时，

f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意．

综上知，m＝1．

4．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是 (　C　)

A．(0，1)　　 B．(－∞，0)

C．(－∞，0)∪(0，1)　　 D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

[解析]　幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C．

二、填空题

5．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是__(3，5)__．

[解析]　∵f(x)＝x＝(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，

∴解得∴3＜a＜5．

6．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__．

[解析]　由题意可知函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，∴2＝4α，∴α＝．∴y＝x．

∴当y＝3时，x＝3，∴x＝9．

三、解答题

7．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．

[解析]　在同一坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图象如图．

则f(x)＝

∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1．

C级　能力拔高

1．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．

[解析]　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3．又m∈Z，∴m＝0，1，2，而m＝0，2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．

∴f(x)＝x4．

2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由．

[解析]　(1)设幂函数y＝f(x)＝xα，

∵幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，

∴2α＝，α＝－，f(x)＝x．

(2)由(1)知函数的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称，

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

任意选取两个实数x1，x2，0<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝＝．

又∵0<x1<x2，

∴x1x2>0，x2－x1>0，＋>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)在定义域上是单调减函数．