2021学年2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时练习

A级　基础巩固

一、选择题

1．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是(　B　)

A．x＞5a或x＜－a  B．x＞－a或x＜5a

C．5a＜x＜－a  D．－a＜x＜5a

[解析]　化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根

x1＝－a，x2＝5a，

∵a＜0，∴x1＞x2．∴不等式解为x＜5a或x＞－a．

2．不等式<0的解集为(　A　)

A．{x|－1<x<2或2<x<3} B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x<3}

[解析]　原不等式等价于，

解得－1<x<3，且x≠2，故选A．

3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　)

A．－4≤a≤4  B．－4＜a＜4

C．a≤－4或a≥4  D．a＜－4或a＞4

[解析]　因不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4．

4．函数y＝的定义域为(　D　)

A．[－4，1]  B．[－4，0)

C．(0，1]  D．[－4，0)∪(0，1]

[解析]　要使函数有意义，则需，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4，0)∪(0，1]．

5．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是(　A　)

A．m＜－2或m＞2  B．－2＜m＜2

C．m≠±2  D．1＜m＜3

[解析]　∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，

∴Δ＝m2－4＞0，∴m＜－2或m＞2．

6．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　A　)

A．(－∞，－1)  B．(－1，0)

C．(0，1)  D．(1，＋∞)

[解析]　本题考查了分式不等式解法等．由>x知－x>0，>0即x(1－x2)>0，所以x<－1或0<x<1；由<x2知－x2<0，<0，即x(1－x3)<0，所以x<0或x>1，所以不等式x<<x2的解为x<－1，选A．本题也可用特殊值代入法进行排除．

二、填空题

7．不等式≥1的解集是__{x|≤x＜2}__．

[解析]　不等式≥1，

化为：≥0，

∴≤x＜2．

8．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝，则实数a的取值范围是__0≤a≤4__．

[解析]　①若a＝0，则1<0不成立，此时解集为空．

②若a≠0，则，∴0<a≤4．

综上知0≤a≤4．

三、解答题

9．解下列不等式：

(1)>0；

(2)<0．

[解析]　(1)原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)>0，

∴x<－或x>．

故原不等式的解集为{x|x<－或x>}．

(2)<0⇔ax(x＋1)<0．

当a>0时，ax(x＋1)<0⇔x(x＋1)<0⇔－1<x<0，

∴解集为{x|－1<x<0}；

当a＝0时，原不等式的解集为；

当a<0时，ax(x＋1)<0⇔x(x＋1)>0⇔x<－1或x>0，

∴解集为{x|x<－1，或x>0}．

综上可知，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1<x<0}；当a＝0时，原不等式的解集为；当a<0时，原不等式的解集为{x|x<－1或x>0}．

10．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?

[解析]　由a2－1＝0，得a＝±1．

当a＝1时，原不等式化为－1<0恒成立，

∴当a＝1时，满足题意．

当a＝－1时，原不等式化为－2x－1<0，

∴x>－，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1．

当a≠±1时，由题意，得，

解得－<a<1．

综上可知，实数a的取值范围是－<a≤1．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，1]恒成立，则有(　A　)

A．m≤－3  B．m≥－3

C．－3≤m<0  D．m≥－4

[解析]　令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为f(x)在(0，1]上为减函数，所以当x＝1时，f(x)取最小值－3，所以m≤－3．

2．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　A　)

A．(1，3)  B．(－∞，3)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞)  D．(－∞，＋∞)

[解析]　由4x2＋6x＋3＝(2x＋)2＋>0对一切x∈R恒成立，

从而原不等式等价于

2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3(x∈R)

⇔2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立

⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，

解得1<m<3．

二、填空题

3．不等式[(a－1)x＋1](x－1)＜0的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝____．

[解析]　由题意x＝2是方程(a－1)x＋1＝0的根，

且a－1＜0，∴a＝．

4．已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__1≤m<19__．

[解析]　①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1，

若m＝－5，则函数化为y＝24x＋3．对任意实数x不可能恒大于0．

若m＝1，则y＝3＞0恒成立．

②当m2＋4m－5≠0时，据题意应有，

 ，

∴，∴1＜m＜19．综上可知，1≤m＜19．

三、解答题

5．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0．

[解析]　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0．

则方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，

由a2－a＝a(a－1)可知，

(1)当a<0或a>1时，a2>a．∴原不等式的解为x>a2或x<a．

(2)当0<a<1时，a2<a，∴原不等的解为x>a或x<a2．

(3)当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0．

(4)当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1．

综上可知：

当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．

C级　能力拔高

1．解关于x的不等式：<0．

[解析]　原不等式⇔>0⇔(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)>0．

令(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＝0，则有x1＝－3，x2＝－2，x3＝1，x4＝3．

如图．

由图可知，原不等式的解集为{x|x<－3或－2<x<1或x>3}．

2．已知函数f(x)＝mx2－mx－1．

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

[解析]　(1)要使mx2－mx＋1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0．

若m≠0，则，解得－4<m<0．

综上可知，m的取值范围是(－4，0]．

(2)解法一：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m(x－)2＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m(x－)2＋m－6，x∈[1，3]．

当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，

∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0．

∴0<m<．

当m＝0时，－6<0恒成立．

当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，

∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，即m<6，∴m<0．

综上可知，m的取值范围是(－∞，)．

解法二：当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，

即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．

∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0，

且m(x2－x＋1)－6<0，∴m<．

∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴m<．故m的取值范围是(－∞，)．