高中人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）达标测试

4．5．3　函数模型的应用

A级　基础巩固

一、选择题

1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(　C　)

A．100 km　　 B．125 km

C．150 km　　 D．225 km

[解析]　t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0．5＋75×1＋100×0．5＝25＋75＋50＝150 km，故选C．

2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　C　)

A．15　　 B．40

C．25　　 D．130

[解析]　令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1．5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C．

3．设某产品2019年12月底价格为a元(a>0)，在2020年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2020年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是(　A　)

A．a>b　　 B．a<b

C．a＝b　　 D．不能确定

[解析]　由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1．1×0．9)6＝0．996a<a，故选A．

4．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是(　C　)

[解析]　从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D．

5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　B　)

(参考数据：lg1．12≈0．05，lg1．3≈0．11，lg2≈0．30)

A．2018年　　 B．2019年

C．2020年　　 D．2021年

[解析]　设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由130(1＋12%)x>200，解得x>log1．12＝≈3．80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年，选B．

6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　D　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油

[解析]　选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，∴A错．选项B，消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油．选项C，此时甲走过了80 km，消耗8 L汽油．选项D，80 km/h以下丙“燃油效率”更高，更省油．

二、填空题

7．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为__300__．

[解析]　将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300．

8．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是__y＝x(x∈N＋)__．

[解析]　依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，

化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20% ·x，

即y＝x(x∈N＋)．

三、解答题

9．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

[解析]　(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，

所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．

由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2．

根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．

g(x)＝2(x≥0)．

(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6．∴总利润y＝8.25万元．

②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18．

令＝t，t∈[0，3]，

则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋．

∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16，18－x＝2．

∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．

B级　素养提升

一、选择题

1．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度均加速开走，那么(　D　)

A．人可在7 s内追上汽车

B．人可在10 s内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距最少为5 m

D．人追不上汽车，其间距最少为7 m

[解析]　设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．

2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2009年年底我国人均GDP为22 640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2021年年底我国人均GDP为(　A　)

A．22 640×1.0912元

B．22 640×1.0913元

C．22 640×(1＋0.0912)元

D．22 640×(1＋0.0913)元

[解析]　由于2009年年底人均GDP为22 640元，由2009年年底到2021年年底共12年，故2021年年底我国人均GDP为22 640×1.0912元．

3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　D　)

A．75，25　　 B．75，16

C．60，25　　 D．60，16

[解析]　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60．将c＝60代入＝15，得A＝16．

4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是(　D　)

[解析]　水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．

二、填空题

5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．

[解析]　设过n个3 min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15．

故时间为15×3＝45(min)．

6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园，则其边长x为__20__m．

[解析]　设矩形高为y m，面积为S m2，

由题意知，＝，

且x>0，y>0，x<40，y<40，

∴x＝40－y，

∴y＝40－x．

∴S＝xy＝x(40－x)

＝40x－x2＝－(x－20)2＋400，

∴当x＝20时，S取最大值400，

∴边长x为20 m时，内接矩形花园面积最大．

三、解答题

7．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：

p＝(t∈N*)

设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．

[解析]　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝

(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900元．

(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125元．

综合(1)，(2)得ymax＝1125元．

因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．

C级　能力拔高

1．2020年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？

[解析]　(1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．

由题意，得或

或

无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；

∴所求函数关系式为S＝t2－2t．

(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，

解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，

∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．

(3)第八个月公司所获利润为

×82－2×8－×72＋2×7＝5．5，

∴第八个月公司所获利润为5．5万元．

2．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30 h以内(含30 h)每张球台90元，超过30 h的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15 h，也不超过40 h．

(1)设在甲家租一张球台开展活动x h的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x h的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)的解析式；

(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？

[解析]　(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)，

g(x)＝

(2)令f(x)＝g(x)，得或

解得x＝18或x＝10(舍)．

当15≤x<18时，f(x)－g(x)＝5x－90<0，

∴f(x)<g(x)．

当x＝18时，f(x)＝g(x)．

当18<x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90>0，

∴f(x)>g(x)．

当30<x≤40时，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30>0，

∴f(x)>g(x)．

缩上所述：当15≤x<18时，选甲家；当x＝18时，选甲家和乙家都可以；当18<x≤40时，选乙家．