高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课堂检测

5.1.2　弧度制

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列各式正确的是(　B　)

A．＝90　　　　　　　　  B．＝10°

C．3°＝  D．38°＝

2．2145°转化为弧度数为(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　2145°＝2015× rad＝π rad．

3．下列各式不正确的是(　C　)

A．－210°＝－  B．405°＝

C．335°＝  D．705°＝

4．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是(　B　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵－1035°＝45°－3×360°．

∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．

又45°＝，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是．

5．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　D　)

A．－－8π  B．π－8π

C．－10π  D．π－10π

[解析]　∵－1485°＝－5×360°＋315°，

又2π rad＝360°，315°＝π rad．

故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π．

6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(　B　)

A．扇形的面积不变

B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍

D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

[解析]　α＝＝＝α，故圆心角不变．

二、填空题

7．扇形AOB，半径为2 cm，|AB|＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为　　．

[解析]　∵|AO|＝|OB|＝2，|AB|＝2，∴∠AOB＝90°＝．

8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝__47_m__.(精确到1m)．

[解析]　根据弧长公式，l＝α＝×45≈47(m)．

三、解答题

9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

[解析]　设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．

10．(1)把310°化成弧度；

(2)把 rad化成角度；

(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．

[解析]　(1)310°＝ rad×310＝ rad．

(2) rad＝°＝75°．

(3)解法一(化为弧度)：

α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝．

显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ．

解法二(化为角度)：

β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，

φ＝×()°＝105°．

显然，15°<18°<57.30°<105°．

故α<β<γ<θ＝φ．

B级　素养提升

一、选择题

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　D　)

A．第一象限  B．第四象限

C．x轴上  D．y轴上

[解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，

∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．

当k为奇数量，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．

2．下列表述中不正确的是(　D　)

A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}

B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}

C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}

D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

[解析]　终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．

3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是(　A　)

A．4 cm2  B．2 cm2

C．4π cm2  D．2π cm2

[解析]　设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A．

4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是(　D　)

A．(2－sin1cos1)R2  B．R2sin1cos1

C．R2  D．R2－R2sin1cos1

[解析]　设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R2.∵圆心角|α|＝＝2，∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1．

二、填空题

5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是　＋，－　．

[解析]　设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝ rad，

所以有解得

即所求两角的弧度数分别为＋，－．

6．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__．

[解析]　当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，

∴θ的终边在第一或第二象限．

三、解答题

7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

[解析]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为

{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．

(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．

8．如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1 min转过θ(0<θ<π)角，2 min到达第三象限，14 min后回到原来的位置，求θ．

[解析]　点A经过2 min转过2 θ，且π<2θ<，14 min后回到原位，∴14θ＝2kπ(k∈Z)，θ＝，且<θ<π，

∴θ＝π或π．

C级　能力拔高

集合A＝{α|α＝，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±，n∈Z}，B＝{β|β＝nπ，n∈Z}∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与B的关系．

[解析]　解法一：如图所示．

∴B包含于A．

解法二：{α|α＝，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋，k∈Z}；

{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±，k∈Z}比较集合A、B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以AB．