高中5.7 三角函数的应用练习题

5．7三角函数模型的简单应用

A级　基础巩固

一、选择题

1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　D　)

A．该质点的振动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零

2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为(　B　)

A．5 A  B．2．5 A

C．2 A  D．－5 A

[解析]　将t＝代入I＝5sin，得I＝2．5 A．

3．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的(　D　)

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

[解析]　与乙点的位置相差周期的点为丁点，故选D．

4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　D　)

A．[0，1]  B．[1，7]

C．[7，12]  D．[0，1]和[7，12]

[解析]　由已知可得该函数的周期为T＝12，

ω＝＝，

又当t＝0时，A(，)，

∴y＝sin(t＋)，t∈[0，12]，

可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．

二、填空题

5．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1，2，3，……，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃．

三、解答题

6．已知某地一天从4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(x－)＋20，x∈[4，16]．

(1)求该地区这一段时间内的温差；

(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

[解析]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以温差为30－10＝20(℃)．

(2)∵4≤x≤16，

∴x－∈[－，]，

令15≤10sin(x－)＋20≤25，

∴－≤sin(x－)≤．

∴－≤x－≤．

∴≤x≤．

∴该细菌的存活时间为－＝(小时)．

B级　素养提升

一、选择题

1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　因为周期T＝，所以＝＝2π，

则l＝．

2．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为(　A　)

A．0  B．－5

C．10  D．－10

[解析]　由图知，A＝10，函数的周期

T＝2＝，

所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0．

3．据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千克，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　A　)

A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)

B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N*)

C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)

D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N*)

[解析]　由题意，得A＝＝2，b＝7．

周期＝2×(7－3)＝8，

∴当x＝3时，y＝9，∵2sin(＋φ)＋7＝9．

∴sin(＋φ)＝1，π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝－．

∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)

二、填空题

4．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__0.8__s往返一次．

[解析]　由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．

5．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为　y＝－6sinx　．

[解析]　将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，

∴ω＝＝，下面确定φ．

将(6，0)看成函数图象的第一特殊点，

则×6＋φ＝0．∴φ＝－π．

∴函数关系式为：y＝6sin(x－π)＝－6sinx．

三、解答题

6．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)．

(1)求这一天最大的温差；

(2)求这段曲线的函数解析式．

[解析]　(1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，

则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．

(2)由(1)得

解得A＝5，b＝－7．

由图象得函数的周期T＝2(14－6)＝16，

则＝16，解得ω＝．所以y＝5sin－7．

由图象知点(10，－7)在函数的图象上，

则－7＝5sin－7，

整理得sin＝0，

又|φ|<，则φ＝－．

则这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14)．