人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时习题

5．6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

第1课时　画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

A级　基础巩固

一、选择题

1．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点(　A　)

A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

[解析]　由图象的周期变换可知，A正确．

2．下列命题正确的是(　B　)

A．y＝sinx的图象向右平移个单位得y＝cosx的图象

B．y＝cosx的图象向右平移个单位得y＝sinx的图象

C．当φ>0时，y＝sinx的图象向右平移φ个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象

D．当φ<0时，y＝sinx的图象向左平移φ个单位可得y＝sin(x－φ)的图象

3．要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象(　C　)

A．向左平移个单位　　　　  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D．向右平移个单位

[解析]　由y＝3sin2(x＋φ)＝3sin(2x＋)，得

∴2φ＝，φ＝．故向左平移个单位．

4．为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象(　B　)

A．向左平移个长度单位  B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位  D．向右平移个长度单位

[解析]　由y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x－)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位，故选B．

5．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x－2φ)，又|f(x1)－g(x2)|＝2，∴不妨令2x1＝＋2kπ，k∈Z，2x2－2φ＝－＋2mπ，m∈Z，∴x1－x2＝－φ＋(k－m)π，k，m∈Z，又|x1－x2|min＝，∴－φ＝，∴φ＝，故选D．

6．要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　B　)

A．向左平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D．向右平移个单位

[解析]　y＝sin(4x－)＝sin4(x－)，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B．

二、填空题

7．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为　y＝cos(2x＋)　．

8．将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得__y＝sin4x__的图象．

三、解答题

9．将函数y＝sin2x的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．

[解析]　y＝sin2xy＝sin2(x)＝sinx．

y＝sinxy＝sinx．

即所得图象的解析式为y＝sinx．

10．已知函数y＝3sin(x－)．

(1)用“五点法”画函数的图象；

(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．

[解析]　(1)列表：

描点：在坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．

连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如右图所示．

这样就得到了函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin(x－)的图象．

(2)①把y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；

②把y＝sin(x－)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；

③将y＝sin(x－)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图象．

B级　素养提升

一、选择题

1．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　C　)

A．y＝sin(2x－)  B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)  D．y＝sin(x－)

[解析]　函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．

2．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　B　)

[解析]　把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：

y3>0；x＝＋1，得：y3＝0；观察即得答案．

3．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：

则有(　C　)

A．A＝2，ω＝，φ＝0  B．A＝2，ω＝3，φ＝

C．A＝2，ω＝3，φ＝－  D．A＝1，ω＝2，φ＝－

[解析]　由表格得A＝2，π－＝，

∴ω＝3．∴ωx＋φ＝3x＋φ．

当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－．

4．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为(　D　)

A．y＝sin(x－)  B．y＝sin2(x＋)

C．y＝sin(x＋)  D．y＝sin(2x－)

[解析]　根据题意，y＝sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin(x－)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin(2x－)，此即y＝f(x)的解析式．∴应选D．

二、填空题

5．把函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图象对应的解析式为　y＝sin(4x－)　．

[解析]　将函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)－]＝sin(2x－)的图象，再将所得函数y＝sin(2x－)的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin(4x－)的图象．

6．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝　2sin－1　．

[解析]　将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1．

三、解答题

7．已知函数f(x)＝3sin(x－)，x∈R．

(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

[解析]　(1)函数f(x)的周期T＝＝4π．

由x－＝0，，π，，2π，

解得x＝，，，，．

列表如下：

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．

图象如下：

(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移个单位，得到f(x)的图象．

8．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；

(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

[解析]　函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，

可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos2x的图象，即图象C2．

(1)画出图象C1和C2的图象如图

(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．

即方程f(x)＝g(x)解的个数为7．

C级　能力拔高

将函数y＝sin(2x－)图象上的点P(，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则(　A　)

A．t＝，s的最小值为  B．t＝，s的最小值为

C．t＝，s的最小值为  D．t＝，s的最小值为

[解析]　因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝．又P′在函数y＝sin2x的图象上，所以＝sin2，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z，又s>0，故s的最小值为，故选A．