人教版新课标A必修21.2 空间几何体的三视图和直观图同步测试题

1．2．3　空间几何体的直观图

A级　基础巩固

一、选择题

1．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则 (　C　)

A．A′B′＝2C′D′　　　　 B．A′B′＝C′D′

C．A′B′＝4C′D′  D．A′B′＝C′D′

[解析]　∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′

∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′．

2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是 (　B　)

A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B．平行四边形的直观图仍是平行四边形

C．两条相交直线的直观图可能是平行直线

D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

[解析]　平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确．

3．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是 (　C　)

①角的水平放置的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

A．0　　　　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．3

[解析]　由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．

4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是 (　A　)

[解析]　由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．

5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 (　C　)

A．4 cm,1 cm, 2 cm,1．6 cm B．4 cm,0．5 cm,2 cm,0．8 cm

C．4 cm,0．5 cm,2 cm,1．6 cm D．2 cm,0．5 cm,1 cm,0．8 cm

[解析]　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1．6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0．5 cm,2 cm,1．6 cm．

6．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是 (　C　)

A．1  B．

C．2  D．4

[解析]　由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝OB·OA＝2，故选C．

[点评]　平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝S原(或S原＝2S直)．

二、填空题

7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__M′(4，2)__，点M′的找法是__在坐标系x′O′y′中，过点(4，0)和y′轴平行的直线与过点(0，2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′__．

[解析]　在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′．

8．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__10__．

[解析]　由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10．

三、解答题

9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

[解析]　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝．

10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．

[解析]　(1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．

(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm．

(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

B级　素养提升

一、选择题

1．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 (　C　)

A．正方形  B．矩形

C．菱形  D．梯形

[解析]　将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知O′D′＝O′C′＝2 cm

OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm

OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，∴原图形为菱形．

2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 (　A　)

A．8 cm  B．6 cm

C．2(1＋)cm  D．2(1＋)cm

[解析]　根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝2，OA＝1，所以AB＝3．从而原图的周长为8．

3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的 (　C　)

[解析]　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．

4．已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 (　D　)

A．a2  B．a2

C．a2  D．a2

[解析]　根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A′B′C′所示．

易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a．过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a．所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝a×a＝a2．

二、填空题

5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形的面积是__2__．

[解析]　由斜二测画法性质知，底边长为1，OA′与底边垂直且长为2×＝2直观图如图所示．

故原图形面积S＝1×2＝2．

6．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为____．

[解析]　因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2．又因为∠COD＝45°，所以CD＝2．梯形的直观图如图，则C′D′＝1．所以梯形的高C′E′＝．

C级　能力拔高

1．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

[解析]　由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O与⊙O′．③取OO′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．

2．由如图所示几何体的三视图画出直观图．

[解析]　(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．

(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC．

(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′．

(4)成图．  顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．