2021学年3.1 直线的倾斜角与斜率同步训练题

3.1.1　倾斜角与斜率

一、选择题

1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为(　A　)

A．　　　 B．－　　　

C．　　　 D．－

[解析]　直线的斜率k＝tan60°＝.故选A．

2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　C　)

A．－  B．

C．－1  D．1

[解析]　∵直线的倾斜角为45°，

∴直线的斜率k＝tan45°＝1＝＝1，∴y＝－1．

3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为(　A　)

A．  B．－

C．－2  D．2

[解析]　由已知得，k AB＝k AC，

∴，解得m＝．

[点评]　若k AB＝k BC，则A，B，C三点共线；若AB与BC的斜率都不存在(即A，B，C三点横坐标相同)，则A，B，C三点共线．

4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　B　)

A．1  B．

C．  D．－

[解析]　∵tan α＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，

∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝.故选B．

5．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　)

A．k1<k2<k3  B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1  D．k1<k3<k2

[解析]　可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0<k3<k2．

6．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　D　)

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

[解析]　根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．

故选D．

7．经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　C　)

A．m＜1  B．m＞－1

C．－1＜m＜1  D．m＞1或m＜－1

[解析]　设直线l的倾斜角为α，则

k AB＝＝tan α＞0．

∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1．

8．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　D　)

A．k≥  B．k≤－2

C．k≥或k≤－2  D．－2≤k≤

[解析]　过点P(2，1)的直线可以看作绕P(2，1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2，1)，如图．

若l与线段AB相交，则k PA≤k≤k PB，

∵k PA＝－2，k PB＝，∴－2≤k≤．

[点评]　在同一坐标系中

直线向右上方倾斜时，k>0；

向左上方倾斜时，k<0；

在y轴右侧，各直线交点最右边逆时针方向，k依次增大．

二、填空题

9．设P为x轴上的一点，A(－3，8)、B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为__(－5，0)__.

[解析]　设P(x，0)为满足题意的点，则k PA＝，k PB＝，于是＝2×，解得x＝－5．

10．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是__[0，2]__.

[解析]　如图，当直线l在l1位置时，k＝tan0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]．

三、解答题

11．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：

(1)直线l1过原点，斜率为1；

(2)直线l2过点(3，0)，斜率为－；

(3)直线l3过点(－3，0)，斜率为；

(4)直线l4过点(3，1)斜率不存在．

[解析]　如图所示．

12．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

[解析]　如图，由题意可知，直线PA的斜率k PA＝＝－1，直线PB的斜率k PB＝＝1，

(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1．

(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，

故α的取值范围是45°≤α≤135°．