人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课后复习题

4．1．2　圆的一般方程

A级　基础巩固

一、选择题

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　D　)

A．(2，3)　　　　　　　　 B．(－2，3)

C．(－2，－3)  D．(2，－3)

[解析]　圆的一般程化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．

2．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(　A　)

A．，－4  B．－，4

C．，4  D．－，－4

[解析]　由题意知直线y＝kx与2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，

∴，解得．

3．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为(　A　)

A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0

C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0

[解析]　由条件知，圆心C在线段MN的中垂线x＝3上，又在直线y＝x－2上，∴圆心C(3，1)，半径r＝|MC|＝2．

方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－6x－2y＋6＝0．

故选A．

4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是(　B　)

A．在圆上  B．在圆外

C．在圆内  D．不确定

[解析]　将原点坐标(0，0)代入圆的方程得(a－1)2，

∵0<a<1，∴(a－1)2>0，∴原点在圆外．

5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　C　)

A．－2或2  B．或

C．2或0  D．－2或0

[解析]　化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1，2)到直线x－y＋a＝0距离为，得＝，∴a＝2或0．

6．圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是(　A　)

A．(x－1)2＋y2＝2  B．(x＋1)2＋y2＝2

C．(x－1)2＋y2＝4  D．(x＋1)2＋y2＝4

[解析]　圆x2＋y2－2y－1＝0的圆心坐标为(0，1)，半径r＝，圆心(0，1)关于直线y＝x对称的点的坐标为(1，0)，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2．

二、填空题

7．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为__x2＋y2＋6x－8y－48＝0__．

[解析]　只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．

8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是__x2＋y2－4x＋2y＋1＝0__．

[解析]　设M(x，y)，A(2，－1)，则P(2x－2，2y＋1)，将P代入圆方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即为：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0．

三、解答题

9．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

[解析]　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，

可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，

∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|．

解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，

当m≠2时，原方程表示圆的方程．

此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|．

10．求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的方程．

[解析]　解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)，

把A，B，C三点坐标代入方程(*)得

，∴．

故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，

解法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0，

由，得圆心坐标为M(1，－1)，

半径r＝|MA|＝，

∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．

B级　素养提升

一、选择题

1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　D　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

[解析]　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，

则a<0，b>0．直线y＝－x－，其斜率k＝－>0，在y轴上的截距为－>0，所以直线不经过第四象限，故选D．

2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面只为(　B　)

A．5  B．10

C．15  D．20

[解析]　圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1，3)，半径长为．由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝2．BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝2＝2＝2．从而四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×2×2＝10．

3．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y－5a2＝0的内部，则a的取值范围是(　D　)

A．(－∞，]  B．(－，)

C．(－，＋∞)  D．(，＋∞)

[解析]　化圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5a2＋1，点(2a，a－1)的圆的内部，则(2a)2＋(a－1－1)2＜5a2＋1，解得a＞．

4．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　B　)

A．  B．5

C．2  D．10

[解析]　由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，

则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，

所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，

所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．

二、填空题

5．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝__－2__．

[解析]　由题意可知直线l：x－y＋2＝0过圆心，

∴－1＋＋2＝0，∴a＝－2．

6．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是__＋3__．

[解析]　关键是搞清式子的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点．＝，表示动点(x，y)到原点(0，0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2，1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．

C级　能力拔高

1．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于点A，B．O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

因为A，B在圆上，所以x＋y＝4，x＋y＝4，

两式相减得x－x＋y－y＝0，

所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0．

当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0， ①

并且  ②

将②代入①并整理得x2＋(y－)2＝．  ③

当x1＝x2时，点A，B的坐标为(0，2)，(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)也满足③．

所以点P的轨迹方程为x2＋(y－)2＝．

2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求该圆的半径r的取值范围；

(3)求圆心C的轨迹方程．

[解析]　(1)要使方程表示圆，则

4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＞0，

即4m2＋24m＋36＋4－32m2＋64m4－64m4－36＞0，

整理得7m2－6m－1＜0，解得－＜m＜1．

(2)r＝

＝＝．

∴0＜r≤．

(3)设圆心坐标为(x，y)，则．

消去m可得(x－3)2＝(y＋1)．

∵－＜m＜1，∴＜x＜4．

故圆心C的轨迹方程为(x－3)2＝(y＋1)，(＜x＜4)．