数学4.2 直线、圆的位置关系课时练习

这是一份数学4.2 直线、圆的位置关系课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4．2，1　直线与圆的位置关系A级　基础巩固一、选择题1．若直线3x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＝0，则a的值为(　B　)A．－1　　　　 B．1　　　　C．3　　　　 D．－3[解析]　∵圆心(－1，2)在直线3x＋y＋a＝0上∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1．2．已知直线ax＋by＋c＝0(a，b，c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a，b，c为三边长的三角形是(　B　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．不存在[解析]　由题意，得＝1∴a2＋b2＝c2，故选B．3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　C　)A．1  B．2 C．  D．2[解析]　由圆的标准方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1，0)，故圆心到直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距离d＝＝．4．已知圆C：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，则直线AB经过定点(　C　)A．(4，8)  B．(2，4)C．(1，2)  D．(9，0)[解析]　设P(9－2b，b)，由圆的切线公式，则直线lAB：(9－2b)x＋by＝9，即b(y－2x)＋9x＝9，所以定点⇒．5．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为(　A　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16[解析]　d＝＝，r＝＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有(　C　)A．1个  B．2个 C．3个  D．4个[解析]　圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离，d＝＝2，又r＝3故有三个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1．二、填空题7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．[解析]　设圆心为(a，0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．8．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__2__．[解析]　最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝，所以最短弦长为2＝2＝2．三、解答题9．当m为何值时，直线x－y－m＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点？[解析]　由，得2x2－2(m＋3)x＋m2＋2m＋1＝0，Δ＝4(m＋3)2－8(m2＋2m＋1)＝－4m2＋8m＋28，当Δ>0，即－2＋1<m<2＋1时，直线与圆相交，有两个公共点；当Δ＝0，即m＝－2＋1或m＝2＋1时，直线与圆相切，有一个公共点；当Δ<0，即m<－2＋1或m>2＋1时，直线与圆相离，无公共点．10．已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．[解析]　(1)由题意知圆心的坐标为(1，2)，半径r＝2，当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3．由圆心(1，2)到直线x＝3的距离3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当过点M的直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0．由题意知＝2，解得k＝，∴方程为3x－4y－5＝0．故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为＝，∴()2＋()2＝4，解得a＝－．B级　素养提升一、选择题1．过点(2，1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是(　A　)A．3x－y－5＝0  B．3x＋y－7＝0C．3x－y－1＝0  D．3x＋y－5＝0[解析]　x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2，1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A．2．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　A　)A．相交但不过圆心  B．相交且过圆心C．相切  D．相离[解析]　∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝．∴圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝<2，∴直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交，又∵点(0，0)不在直线ax＋by＋c＝0上，故选A．3．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　A　)A．[2，6]  B．[4，8]C．[，3]  D．[2，3][解析]　∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2，0)，B(0，－2)，则|AB|＝2，∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，∴圆心为(2，0)，则圆心到直线距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2，6]．故答案选A．4．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是(　B　)A．3<r<5  B．4<r<6C．r>4  D．r>5[解析]　圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1<r<d＋1，所以4<r<6．二、填空题5．过点P(，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为__2x－4y＋3＝0__．[解析]　当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB．由于C(1，0)，P(，1)，∴kCP＝－2，∴kAB＝，∴直线l方程为y－1＝(x－)，即2x－4y＋3＝0．6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__(x－2)2＋(y－2)2＝2__．[解析]　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，半径为3，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5，所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，圆心到原点的距离为2，圆心坐标为(2，2)，最小圆的直径为5－3＝2，半径为，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，故答案为(x－2)2＋(y－2)2＝2．C级　能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：(1)经过点P(，1)；(2)斜率为－1；(3)过点Q(3，0)．[解析]　(1)∵点P(，1)在圆上．∴所求切线方程为x＋y－4＝0．(2)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0．解得b＝±2．∴所求切线方程为x＋y±2＝0．(3)解法一：∵32＋02>4，∴点Q在圆外．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴＝2，∴k＝±，∴所求切线方程为2x±y－6＝0．解法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝4，∵点Q(3，0)在切线上，∴x0＝①，又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4②，由①②构成的方程组可解得，或．∴所求切线方程为x＋y＝4或x－y＝4，即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0．2．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件，求以MN为直径的圆的方程．[解析]　(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴方程表示圆时，m<5．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，由，得5y2－16y＋m＋8＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝．代入①得m＝．(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．