2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第二章第四讲　指数与指数函数学案

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第四讲　指数与指数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[多选题]下列说法正确的为 (　　)A.=()n=a(n∈N*)B.函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数C.若am<an(a>0,且a≠1),则m<nD.指数函数的图象恒过定点(0,1)2.[2020贵阳市高三测试]设a=0.60.3,b=0.30.6,c=0.30.3,则a,b,c的大小关系为 (　　)A.b<a<c                 B.a<c<bC.b<c<a                 D.c<b<a3.[2019北京高考]设函数f (x)=ex+ae - x(a为常数).若f (x)为奇函数,则a=　　　　;若f (x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 4.[2015山东高考]已知函数f (x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[ - 1,0],则a+b=　　　. 5.[2015福建高考]若函数f (x)=2|x - a|(a∈R)满足f (1+x)=f (1 - x),且f (x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于　　　.  考法1   指数幂的运算1计算:(1)( - 30.002 - 10 - 2) - 1()0;(2)(a>0,b>0);(3)若=3,求的值.(1)原式=( - 1(3(1=(50 - 10(2)1=10 - 10 - 201= - .(2)原式=·=ab - 1.(3)由=3,两边平方,得xx - 1=7,∴x2x - 2=47.∴x2x - 2 - 2=45.由()3=33,得33=27.∴=18,∴ - 3=15.∴.考法2    指数函数的图象及应用2(1)已知函数y=kx+a的图象如图2 - 4 - 2所示,则函数y=ax+k的图象可能是图2 - 4 - 2 (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是　　　　. (1)由y=kx+a的图象→确定k,a的取值范围→y=ax+k的图象(2)函数y=2x+1的图象→作关于x轴对称的图形→|y|=2x+1即为上述曲线→观察与y=b相交情况→求b的取值范围(1)由函数y=kx+a的图象可得k<0,0<a<1.因为函数的图象与x轴交点的横坐标大于1,所以k> - 1,所以 - 1<k<0.函数y=ax+k的图象可以看成把y=ax的图象向右平移 - k个单位长度得到的,且函数y=ax+k是减函数,故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项,选B.(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图2 - 4 - 3所示,由图象可得:如果曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[ - 1,1].                                                                                                                           图2 - 4 - 3 1.(1)若将示例2(2)中“曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点”改为“曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点”,则b的取值范围为　　　　. (2)若将示例2(2)改为:函数y=|2x - 1|在( - ∞,k]上单调递减,则k的取值范围是　　　　. (3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax - 1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　. 考法3    指数函数的性质及应用命题角度1　比较大小3 [2016全国卷Ⅲ]已知a=,b=,c=2,则 (　　)A.b<a<c     B.a<b<c C.b<c<a        D.c<a<b因为a=,b==1,c=,且幂函数y=在R上单调递增,指数函数y=16x在R上单调递增,所以b<a<c. A2.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则 (　　)A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a               D.1<a<b命题角度2　指数函数性质的综合问题4(1) [2017北京高考]已知函数f (x)=3x - ()x,则f (x) (　　)A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈( - ∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围为　　　　. (1)因为f (x)=3x - ()x,且定义域为R,所以f ( - x)=3 - x - () - x=()x - 3x= - [3x - ()x]= - f (x),即函数f (x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数,y=()x在R上是减函数,所以f (x)=3x - ()x在R上是增函数.故选A.(2) 从已知不等式中分离出实数a,得a> - [()x+()x].因为y=()x,y=()x均为减函数,所以y= - [()x+()x]为增函数.所以当x≤1时, - [()x+()x]≤ - .所以实数a的取值范围为( - ,+∞).3.[2019湖南五市十校联考]若f (x)=ex - ae - x为奇函数,则满足f (x - 1)> -  e2的x的取值范围是(　　)A.( - 2,+∞)           B.( - 1,+∞)   C.(2,+∞)               D.(3,+∞)命题角度3　与指数函数有关的复合函数问题5已知函数f (x)=(. (1)若a= - 1,则f (x)的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　; (2)若f (x)有最大值3,则a的值为　　　　; (3)若f (x)的值域是(0,+∞),则a的值为　　　　. (1)当a= - 1时,f (x)=(,令u= - x2 - 4x+3= - (x+2)2+7,则该函数在( - ∞, - 2)上单调递增,在( - 2,+∞)上单调递减.而y=()u在R上单调递减,所以函数f (x)在( - ∞, - 2)上单调递减,在( - 2,+∞)上单调递增,即函数f (x)的单调递增区间是( - 2,+∞),单调递减区间是( - ∞, - 2).(2)令h(x)=ax2 - 4x+3,则f (x)=()h(x),因为f (x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,因此必有解得a=1,即当f (x)有最大值3时,a的值为1.(3)令g(x)=ax2 - 4x+3,由f (x)的值域是(0,+∞)知,g(x)=ax2 - 4x+3的值域为R,则必有a=0. 4.[改编题]已知函数f (x)=2|2x - m|　(m为常数).若f (x)在[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是　　 　　.  易错　忽略对底数a的分类讨论而出错6已知函数y=a2x+2ax - 1(a>0,且a≠1),当x≥0时,则函数的值域为　　　　. 易忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a>1时,如果x≥0,那么ax≥1;(2)当0<a<1时,如果x≥0,那么0<ax≤1.y=a2x+2ax - 1,令t=ax,则y=g(t)=t2+2t - 1=(t+1)2 - 2.当a>1时,∵ x≥0,∴t≥1,∴当a>1时,y≥2.当0<a<1时,∵ x≥0,∴0<t≤1.∵ g(0)= - 1,g(1)=2,∴当0<a<1时, - 1<y≤2.综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+∞);当0<a<1时,函数的值域是( - 1,2].268            1.BD　根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知AC错误,BD正确,故选BD.2.C　指数函数y=0.3x在R上单调递减,所以0.30.6<0.30.3,即b<c.幂函数y=x0.3在[0,+∞)上单调递增,所以0.30.3<0.60.3,即c<a.综上可知,b<c<a.故选C.3. - 1　( - ∞,0]　∵f (x)为奇函数,∴f ( - x)= - f (x),即e - x+aex= - ex - ae - x,∴(1+a)e - x+(1+a)ex=0,∴a= - 1.∵f (x)单调递增,∴f  ' (x)=ex - ae - x=≥0,∴e2x - a≥0,∴a≤0,故a的取值范围是( - ∞,0].4. - 　①当0<a<1时,函数f (x)在[ - 1,0]上单调递减,由题意可得即解得此时a+b= - .②当a>1时,函数f (x)在[ - 1,0]上单调递增,由题意可得即显然无解.所以a+b= - .5.1　因为f (1+x)=f (1 - x),所以函数f (x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f (x)=2|x - 1|的图象如图D 2 - 4 - 1所示,因为函数f (x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.图D 2 - 4 - 1 1.(1)(0,1)　曲线y=|2x - 1|与直线y=b的图象如图D 2 - 4 - 2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).图D 2 - 4 - 2 (2)( - ∞,0]　因为函数y=|2x - 1|的单调递减区间为( - ∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为( - ∞,0].(3)(0,)　y=|ax - 1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2 - 4 - 3(1);当0<a<1时,要使两个图象有两个公共点,则0<2a<1,得到0<a<,如图D 2 - 4 - 3(2).(1)　　　　　　　　　　　(2)图D 2 - 4 - 3综上可知,a的取值范围是(0,).2.C　因为当x>0时,1<bx,所以b>1.因为当x>0时,bx<ax,所以()x>1,可得>1,所以a>b.所以1<b<a.故选C.3.B　由f (x)=ex - ae - x为奇函数,得f ( - x)= - f (x),即e - x - aex=ae - x - ex,解得a=1,所以f (x)=ex - e - x,则f (x)在R上单调递增.又f (x - 1)> - e2=f ( - 2),所以x - 1> - 2,解得x> - 1,故选B.4.( - ∞,4]　令t=|2x - m|,则t=|2x - m|在[,+∞)上单调递增,在( - ∞,]上单调递减.因为f (x)=2t在R上为增函数,所以若函数f (x)=2|2x - m|在[2,+∞)上单调递增,则≤2,即m≤4,所以m的取值范围是( - ∞,4].