2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第三讲　三角函数的图象与性质学案

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第三讲　三角函数的图象与性质


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[改编题]下列说法正确的是(　　)
A.正切函数y=tan x在定义域上是增函数
B.已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1
C.将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx - φ)的图象
D.y=sin|x|是偶函数
2.[多选题]将函数y=sin x的图象向左平移π2个单位长度,得到函数y=f (x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f (x)是偶函数
B.y=f (x)的最小正周期为π
C.y=f (x)的图象关于直线x=π2对称
D.y=f (x)的图象关于点( - π2,0)对称
3.[2019全国卷Ⅱ]若x1=π4,x2=3π4是函数f (x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.32 C.1 D.12
4.[2019全国卷Ⅱ]下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增的是(　　)
A.f (x)=|cos 2x| B.f (x)=|sin 2x|
C.f (x)=cos|x| D.f (x)=sin|x|
5.[2020大同市高三调研]已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0,ω>0,|φ|0).若f (x)≤f (π4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. 

考法1 三角函数的图象变换及其应用
1(1)要得到函数y=sin(5x - π4)的图象,只需将函数y=cos 5x的图象　　　　　　　　　　　　　　　　
A.向左平移3π20个单位长度 　B.向右平移3π20个单位长度
C.向左平移3π4个单位长度 　D.向右平移3π4个单位长度
(2)如图4 - 3 - 2所示的是函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00,00,ω>0,|φ|0,|φ|≤π2),x= - π4为f (x)的零点,直线x=π4为y=f (x)图象的对称轴,且f (x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为
A.11 B.9 C.7 D.5
由条件中的“零点”和“对称轴”列等式→根据“f (x)在(π18,5π36)上单调”推导→验证
解法一　因为x= - π4为函数f (x)的零点,直线x=π4为y=f (x)图象的对称轴,
所以π4 - ( - π4)=π2=kT2+T4(k∈Z,T为最小正周期),(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得)
化简得T=2π2k+1(k∈Z),即ω=2πT=2k+1(k∈Z).
又f (x)在(π18,5π36)上单调,所以T2≥5π36-π18,(单调区间的长度不大于半个最小正周期)
结合T=2π2k+1(k∈Z)可得,k≤112且k∈Z.
当k=5时,ω=11,φ= - π4,f (x)在(π18,5π36)上不单调;当k=4时,ω=9,φ=π4,f (x)在(π18,5π36)上单调,满足题意,故ω的最大值为9.
解法二　依题意,有ω·(-π4)+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m,n∈Z),
解得ω=2(n-m)+1,φ=2(m+n)+14π.(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解)
又|φ|≤π2,所以m+n=0或m+n= - 1.
由f (x)在(π18,5π36)上单调,得πω≥5π36-π18,所以00恒成立.
令t=2x+φ,因为x∈( - π12,π3),所以t∈(φ - π6,φ+2π3).
故要使sin t>0恒成立,只需φ-π6≥2kπ,φ+2π3≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ+π6≤φ≤2kπ+π3(k∈Z).
显然,当k=0时,π6≤φ≤π3,故选D.
7.D　f (x)=12(1 - cos ωx)+12sin ωx - 12=12sin ωx - 12cos ωx=22sin(ωx - π4).
当ω=12时, f (x)=22sin(12x - π4),x∈(π,2π)时,f (x)∈(12,22],无零点,排除A,B;
当ω=316时,f (x)=22sin(316x - π4),x∈(π,2π)时,当x=43π时,f (x)=0,所以f (x)有零点,排除C.选D.