2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第一讲　直线方程与两直线的位置关系学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第一讲　直线方程与两直线的位置关系学案，共13页。
第九章　直线和圆的方程
第一讲　直线方程与两直线的位置关系


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[2020山东青岛模拟]已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是(　　)
A.3x - 2y - 1=0 B.3x - 2y+1=0
C.2x+3y - 5=0 D.2x - 3y+1=0
2.[2020浙江台州五校联考]已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A.( - ∞, - 52] B.[2,+∞) C.[ - 52,12] D.( - ∞, - 52]∪[2,+∞)
3.[2020河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A.2x - 4y - 3=0 B.2x+4y+3=0
C.4x - 2y - 3=0 D.2x+4y - 3=0
4.[2016四川高考]设直线l1,l2分别是函数f (x)=-lnx,00,b>0),则直线l的方程为xa+yb=1.(截距式)
因为l过点P(3,2),所以3a+2b=1.
因为1=3a+2b≥26ab,整理得ab≥24,所以S△ABO=12ab≥12.
当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时取等号.
此时直线l的方程是x6+y4=1,即2x+3y - 12=0.
解法二　依题意知,直线l的斜率k存在且k0,则m>- 1,
解得x1=2+2m+1,x2=2- 2m+1.
从而|AB|=2|x1- x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.

1.(1)①当直线l在x轴,y轴上的截距均为0时,直线l的斜率为k=12,
所以直线l的方程为y=12x,化为一般方程为x- 2y=0.
②当直线l在x轴,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xt+yt=1,将(2,1)代入,得2t+1t=1,解得t=3,
此时直线l的一般方程为x+y- 3=0.
综上,直线l的一般方程为x- 2y=0或x+y- 3=0.
(2)由题意得,直线l的方程为x+y- 3=0,则a+b=3.
所以3a+3b≥23a·3b=23a+b=63,当且仅当a=b=32时等号成立.
所以3a+3b的最小值为63.
2.(1)解法一　直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,
因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为- 34.
又l'过点(- 1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y- 3=- 34(x+1),即3x+4y- 9=0.
解法二　由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠- 12),
将(- 1,3)代入,得m=- 9,
于是所求直线方程为3x+4y- 9=0.
(2)解法一　直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,
因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为43.
又l'过点(- 1,3),所以由点斜式得直线方程为y- 3=43(x+1),
即4x- 3y+13=0.
解法二　由l'与l垂直,可设l'的方程为4x- 3y+n=0,
将(- 1,3)代入,得n=13,
于是所求直线方程为4x- 3y+13=0.
(3)解法一　直线l的方程可化为y=- 34x+3,可知l的斜率为- 34,
因为l'⊥l,所以直线l'的斜率为43.
设l'在y轴上的截距为b,则直线l'的方程为y=43x+b,l'在x轴上的截距为- 34b,
由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|b|·|- 34b|=4,解得b=±463.
所以直线l'的方程为y=43x+463或y=43x- 463,
即4x- 3y+46=0或4x- 3y- 46=0.
解法二　由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x- 3y+p=0,
则l'在x轴上的截距为- p4,在y轴上的截距为p3.
由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|p3|·|- p4|=4,求得p=±46.
所以直线l'的方程为4x- 3y+46=0或4x- 3y- 46=0.
3.(1)C　 过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22- 12=3.直线AB的方程可化为3x+3y- 3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+3×12- 3|(3)2+32=3,解得m=- 332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.
(2)4　 解法一 　设P(x,x+4x),x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x2≥22x·4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法二 　由y=x+4x(x>0)得y'=1- 4x2,令1- 4x2=- 1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.
4.x+7y- 6=0　 由角平分线的性质知,点A关于∠B,∠C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.
设点A(2,- 4)关于直线x- 3y- 6=0的对称点为A1(x1,y1),则有y1+4x1- 2=- 3,x1+22- 3·y1- 42- 6=0,解得x1=25,y1=45,即A1(25,45).
同理可得,点A(2,- 4)关于直线x+y- 2=0的对称点A2的坐标为(6,0).
所以直线A1A2的方程为y=0- 456- 25(x- 6),即x+7y- 6=0.
所以BC所在直线的方程为x+7y- 6=0.
5.5x- 12y+45=0或x- 3=0　圆O的标准方程为(x- 1)2+(y- 2)2=4,其圆心为(1,2).∵|OA|=(3- 1)2+(5- 2)2=13>2,∴点A(3,5)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x- 3=0;当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y- 5=k(x- 3),即kx- y+5- 3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d=|3- 2k|k2+1=2,即|3- 2k|=2k2+1,∴k=512,即切线方程为5x- 12y+45=0.综上可知,所求切线的方程为5x- 12y+45=0或x- 3=0.