2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第十一章第二讲　古典概型学案

www.ks5u.com第二讲　古典概型

1.[2020湖北八校第一次联考]《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典长篇小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.[2019全国卷Ⅲ]两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(　　)

A. B. C. D.

3.某饮品店提供A,B两种口味的饮料,且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种规格.甲、乙两人各点一杯饮料,且甲点大杯、乙点中杯或小杯,则甲和乙恰好点了同一种口味的饮料的大杯和小杯的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.[2020百校联考]“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.

“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”讲的是昭君出塞的故事;“闭月”讲的是貂蝉拜月的故事;“羞花”讲的是杨贵妃观花的故事.她们是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.[新情境题]著名的“3N+1猜想”是指对于任一个正整数n,若n是偶数,则让它变成;若n是奇数,则让它变成3n+1.如此循环,最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换,从中随机抽取一个数字,该数字的变换次数为奇数的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.[2020河北九校第二次联考]某个活动的主办方安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车,已知主办方会等可能随机安排车辆前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,给自己设计了两种乘车方案.方案一,不乘坐第一辆车,若第二辆车上标的号大于第一辆车上标的号,就乘坐第二辆车,否则乘坐第三辆车;方案二,直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则(　　)

A.P1·P2= B.P1=P2=     C.P1<P2                 D.P1+P2=

7.[2019江苏高考]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. 

考法1　古典概型的求法

1(1)[2017全国卷Ⅱ]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A. B. C. D.

(2)[2018全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A. B. C. D.

(1)先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.(2)先写出不超过30的素数所含的基本事件数,然后求出两个不同的数的和等于30所含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求解即可.

(1)解法一　依题意,记两次取的卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).(按顺序列举,不重不漏)

因此所求的概率为.

解法二　画出树状图如图11-2-1所示.

由图11-2-1可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率为.

(2)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数,有种不同的取法,其中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率P=.

(1)D　(2)C

1.(1)[2019合肥高三三检]若a,b是从集合{-1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素,则使得函数f(x)=x5a+xb是奇函数的概率为(　　)

A. B. C. D.

(2)某市教育局准备举办三期高中数学教学常规培训,某校共有5名高一数学老师参加此培训,每期至多派送2名参加,每名老师只能参加1次培训,且学校准备随机派送,则甲老师不参加第一期培训的概率为(　　)

A. B. C. D.

考法2   随机模拟的应用

2袋子中有大小、形状、质地完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数.

343　432　341　342　234　142　243　331　112

342　241　244　431　233　214　344　142　134

由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为

A. B. C. D.

由18组随机数得,恰好在第三次停止摸球的有142,112,241,142,共4组,所以恰好第三次就停止摸球的概率约为.

C

2.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为　　　　. 

数学文化　概率与数学文化

3[2019全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分

图11-2-2

为阳爻“”和阴爻“”,如图11-2-2就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A. B. C. D.

弄清重卦的构成→计算重卦的种数→计算重卦中恰有3个阳爻的种数→用古典概型概率计算公式计算

由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为=20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P=.

A

3.[2020河北九校第二次联考]图11-2-3为我国数学家赵爽的弦图,现在提供6种不同的颜色给A,B,C,D,E这5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则区域A,C涂相同颜色的概率为(　　)

图11-2-3

A. B. C. D.

32

1.B　依题意知,所求的概率P=,故选B.

2.D　将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,情况有:

A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A1A2,B2B1A2A1,B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2B1A1,共有24种.

其中两位女同学相邻的有12种,所以所求概率P=.故选D.

3.A　“甲、乙两人各点一杯饮料,且甲点大杯、乙点中杯或小杯”共有8个等可能的基本事件,分别为(A大,A中),(A大,A小),(A大,B中),(A大,B小),(B大,A中),(B大,A小),(B大,B中),(B大,B小),其中“甲、乙两人恰好点了同一种口味的饮料的大杯和小杯”包含2种情形:(A大,A小),(B大,B小).所以所求概率为.故选A.

【素养落地】　试题考查考生在实际情境中从数学的视角分析问题和解决问题的能力,并建立数学模型,体现了对数学建模核心素养的考查.

4.B　依题意,所有的扮演情况有=24(种),其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有+2=14(种),故所求概率P=.故选B.

5.C　依题意知,5→16→8→ 4→2→1,共进行5次变换;6→3→10→ 5→…,共进行8次变换;7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…,共进行16次变换;由以上可知,8变换为1共需要进行3次变换;9→28→14→7→…,共进行19次变换.故变换次数为奇数的概率为,故选C.

6.D　三辆车的出发顺序共有6种可能:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).若该嘉宾按方案一乘车,坐到“3号”车的可能情况有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3种,所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P1=;若该嘉宾按方案二乘车,坐到“3号”车的可能情况有(3,1,2),(3,2,1),共2种,所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P2=.所以P1+P2=,故选D.

7.　记3名男同学为A,B,C,2名女同学为a,b,则从中任选2名同学的情况有{A,B},{A,C},{A,a},{A,b},{B,C},{B,a},{B,b},{C,a},{C,b},{a,b},共10种,其中至少有1名女同学的情况有{A,a},{A,b},{B,a},{B,b},{C,a},{C,b},{a,b},共7种,故所求概率为.

【易错警示】　古典概型中基本事件的计数一般利用列举法,注意列举要按照一定的顺序,避免重复和遗漏.

1.(1)B　记集合A={- 1,1,2,3,4},要使函数f(x)=x5a+xb是奇函数(a,b是从A中随机选取的两个不同元素),则a,b只能是从{- 1,1,3}中任选的两个不同元素,则所求概率P=.故选B.

(2)D　解法一　5名高一数学老师参加此培训,且每期至多派送2名参加,派送方法共有×=90(种),其中甲老师不参加第一期培训的派送方法有两种:①第一期培训派送1名时,有种方法;②第一期培训派送2名时,有种方法.所以甲老师不参加第一期培训的派送方法共有+=60(种).所以所求概率P==,故选D.

解法二　5名高一数学老师参加此培训,且每期至多派送2名参加,派送方法共有×=90(种),其中甲老师参加第一期培训的派送方法有两种:①第一期培训派送1名时,有种方法,②第一期培训派送2名时,有(+)种方法.所以甲老师参加第一期培训的派送方法共有++=30(种).所以所求概率P==,故选D.

2.0.4　根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527　9857　8636　6947　4698　8045　9597　7424,所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为=0.4.

3.D　(1)当A,C涂相同颜色时.第一步,给区域A涂色,有6种方法,第二步,给区域B涂色,有5种方法,第三步,给区域D涂色,有4种方法,第四步,给区域C涂色,因为A,C同色,所以只有1种方法,第五步,给区域E涂色,有4种方法,所以共有6×5×4×1×4=480(种)方法.

(2)当A,C涂不同颜色时.第一步,给区域A涂色,有6种方法,第二步,给区域B涂色,有5种方法,第三步,给区域D涂色,有4种方法,第四步,给区域C涂色,因为A,C不同色,所以有3种方法,第五步,给区域E涂色,有3种方法,所以共有6×5×4×3×3=1 080(种)方法.

因此区域A,C涂相同颜色的概率P=,故选D.