2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第五章第二讲　等差数列及其前n项和学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第五章第二讲　等差数列及其前n项和学案，共8页。
第二讲　等差数列及其前n项和



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.[多选题]下面结论正确的为(　　)
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列
B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2
C.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数
D.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列
2.[2018全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)
A. - 12 B. - 10 C.10 D.12
3.[2017全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
4.[2015北京高考]设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3S9;④若S7>S8,则必有S6>S9.
其中所有正确命题的序号是　　　　. 


考法1 等差数列的判定与证明
1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn - 1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2 - an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(1)由题意知,anan+1=λSn - 1,an+1an+2=λSn+1 - 1.
两式相减,得an+1(an+2 - an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2 - an=λ.
(2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1 - 1,可得a2=λ - 1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2 - an=4,由此可得{a2n - 1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n - 1=4n - 3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n - 1.
所以an=2n - 1,an+1 - an=2.
因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.
1.[2019广东七校第二次联考]已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+1,且bn=1an,n∈N*.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)设数列{ann+1}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.





考法2 等差数列的基本运算
2(1)[2019全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.an=2n - 5 B.an=3n - 10
C.Sn=2n2 - 8n D.Sn=12n2 - 2n
(2)[2020惠州市一调]等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a5=25,S6=57,则{an}的公差为　　　　. 
(3)[2019全国卷Ⅲ,]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=　　　　. 
(1)解法一　设等差数列{an}的公差为d,∵ S4=0,a5=5,∴4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,∴an=a1+(n - 1)d= - 3+2(n - 1)=2n - 5,
Sn=na1+n(n-1)2d=n2 - 4n.故选A.
解法二　设等差数列{an}的公差为d,∵ S4=0,a5=5,
∴4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.
选项A中,a1=2×1 - 5= - 3;
选项B中,a1=3×1 - 10= - 7,排除B;
选项C中,S1=2 - 8= - 6,排除C;
选项D中,S1=12 - 2= - 32,排除D.选A.
(2)解法一　设{an}的公差为d.因为a4+a5=25,S6=57,所以2a1+7d=25,6a1+15d=57,解得a1=2,d=3,所以{an}的公差为3.
解法二　设{an}的公差为d,因为S6=6(a1+a6)2=3(a3+a4)=57,所以a3+a4=19.a4+a5 - (a3+a4)=2d=25 - 19,所以d=3.
(3)设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1,所以S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.
2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm - 1= - 2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=(　　)
A.12 B.18 C.24 D.30
考法3 等差数列的性质的应用
3(1)[2019全国高三联考]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S9=36,则(a2+a8)2 - a5=　　　　　　　　　　　　　　　　
A.60 B.30 C.12 D.4
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1= - 2 018,S2 0212 021-S2 010 2 010=11,则S2 022等于
A.6 066 B. - 6 066 C.4 040 D. - 4 040
(3)等差数列{an}共有63项,且S63=36,则S奇=　　　　,S偶=　　　　. 
(1)S9=9(a1+a9)2=36,∴a1+a9=2a5=8,
∴a5=4,∴(a2+a8)2 - a5=4a52 - a5=4×42 - 4=60.故选A.
(2)由等差数列的性质可得{Snn}也为等差数列,设数列{Snn}的公差为d,
则S2 0212 021-S2 0102 010=11d=11,∴d=1.
故S2 0222 022 = S11+2 021d= - 2 018+2 021=3.
∴S2 022=3×2 022=6 066.故选A.
(3)由S63=36,得63·a32=36.(利用性质:若项数为2n - 1,则S2n - 1=(2n - 1)an)
∴a32=47.
∴S奇=32a32=32×47=1287,
S偶=31a32=31×47=1247.(利用性质:若项数为2n - 1,则S奇=nan,S偶=(n - 1)an)
3.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am - 1+am+1 - am2 - 1=0,S2m - 1=39,则m等于(　　)
A.39 B.20 C.19 D.10
(2)[2020贵州遵义联考]等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=2n3n+1,则a11b11=　　　　. 
考法4 等差数列的前n项和及其最值
4在等差数列{an}中,已知a1=13,3a2=11a6,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　. 
思路一　先利用已知条件求出公差d,再利用an≥0,an+1≤0求出n的取值范围,由n∈N*,即可得出n的值,从而得出数列{an}的前n项和Sn的最大值.
思路二　先求出公差d,再利用配方法求数列{an}的前n项和Sn的最大值.
设等差数列{an}的公差为d.
解法一　(通项法)由3a2=11a6,得3×(13+d)=11×(13+5d),解得d= - 2,所以an=13+(n - 1)×( - 2)= - 2n+15.
由an≥0,an+1≤0,得-2n+15≥0,-2(n+1)+15≤0,解得6.5≤n≤7.5.
因为n∈N*,(求最值时,注意隐含条件n∈N*的应用)
所以当n=7时,数列{an}的前n项和Sn最大,最大值为S7=7×(13-2×7+15)2=49.
解法二　(二次函数法)由3a2=11a6,得3×(13+d)=11×(13+5d),解得d= - 2,所以an=13+(n - 1)×( - 2)= - 2n+15.
所以Sn=n(13+15-2n)2= - n2+14n= - (n - 7)2+49,(用配方法求最值)
所以当n=7时,数列{an}的前n项和Sn最大,最大值为S7=49.
4.[2018全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1= - 7,S3= - 15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.





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1.BD　对于A,若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列,故A错误;对于B,由2an+1=an+an+2得an+1 - an=an+2 - an+1,故B正确;对于C,数列{an}为等差数列的充分不必要条件是其通项公式为n的一次函数,故C错误;对于D,由等差数列与一次函数的关系可得D正确.故选BD.
2.B　解法一　设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3(3a1+3×22d)=2a1+d+4a1+4×32d,解得d= - 32a1.∵a1=2,∴d= - 3,∴a5=a1+4d=2+4×( - 3)= - 10.故选B.
解法二　设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3 - a3+S3+a4,∴S3=a4 - a3,∴3a1+3×22d=d,又a1=2,∴d= - 3,∴a5=a1+4d=2+4×( - 3)= - 10.故选B.
3.C　设等差数列{an}的公差为d,∴a1+3d+a1+4d=24,6a1+6×52d=48,解得a1=-2,d=4,故选C.
4.C　若{an}是递减的等差数列,则选项A,B都不一定正确.若{an}为公差为0的等差数列,则选项D不正确.对于C选项,由00,d≠0,所以a7>0>a8,故S7是Sn中的最大项,所以②正确;对于③,若S7>S8,则a80,那么d