新高考数学一轮复习教师用书：第六章　5 第5讲　数列的综合应用学案

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第5讲　数列的综合应用


　　　　　　等差数列与等比数列的综合问题
(2018·高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【解】　(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.
由a3＋a5＝20得8＝20，
解得q＝2或q＝，
因为q>1，所以q＝2.
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.
由cn＝解得cn＝4n－1.
由(1)可知an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·，
故bn－bn－1＝(4n－5)·，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)·(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·＋(4n－9)·＋…＋7·＋3.
设Tn＝3＋7·＋11·＋…＋(4n－5)·，n≥2，
Tn＝3·＋7·＋…＋(4n－9)·＋(4n－5)·，
所以Tn＝3＋4·＋4·＋…＋4·－(4n－5)·，
因此Tn＝14－(4n＋3)·，n≥2，
又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·.

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．　
　已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，
由an＝－3Sn＋4，
知an＋1＝－3Sn＋1＋4，
两式相减并化简得an＋1＝an，
所以an＝.
bn＝－log2an＋1＝－log2＝2n.
(2)由题意知，cn＝＋.
令Hn＝＋＋＋…＋，①
则Hn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.
所以Hn＝2－.
又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
所以Tn＝Hn＋Mn＝2－＋.

　　　　　　数列与函数的综合问题
(2020·杭州学军中学高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn