新高考数学一轮复习教师用书：第十章　8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差学案

这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第十章　8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差学案，共20页。

第8讲　离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
E(X)
p(p为成功概率)
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　)
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　)
(3)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
[教材衍化]
1．(选修2­3P68A组T1改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________．
解析：E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案：
2．(选修2­3P68A组T5改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1

Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
因为E(Y) 所以乙技术好．
答案：乙
[易错纠偏]
(1)期望、方差的性质不熟导致错误；
(2)二项分布的数学期望公式用法不当．
1．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)，D(Y)依次是________．
解析：由X～N(1，22)得E(X)＝1，D(X)＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－，所以E(Y)＝2－E(X)＝，D(Y)＝D(X)＝1.
答案：，1
2．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．
解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2.
答案：2


　　　　　　离散型随机变量的均值、方差的求解(高频考点)
离散型随机变量的均值、方差的求解，比较大小，求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点．主要命题角度有：
(1)直接求均值、方差；
(2)两个随机变量的均值、方差大小比较；
(3)实际问题中的均值、方差的求解．
角度一　直接求均值、方差
(1)(2019·高考浙江卷)设0 X
0
a
1
P



则当a在(0，1)内增大时，(　　)
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
(2)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝____________．
【解析】　(1)由题意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.
(2)设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
【答案】　(1)D　(2)
角度二　两个随机变量的均值、方差大小比较
已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
【解析】　根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0 【答案】　A
角度三　实际问题中的均值、方差的求解
(2020·台州市书生中学高三质检)公园游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色之外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率，②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．　
【解】　(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.


求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．　
　某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000，0.1)，
所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.
答案：200

　　　　　　均值、方差的应用(高频考点)
本考点属于均值、方差的简单应用．主要命题角度有：
(1)已知均值、方差求参数；
(2)已知均值、方差求最值问题．
角度一　已知均值、方差求参数
(1)(2020·杭州高三质检)体育课的排球发球项目的考试规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为m(m≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则m的取值范围是(　　)
A.　　　 　　　　 B.
C. D.
(2)(2020·台州市书生中学高三期中)若X是离散型随机变量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a＜b，又已知E(X)＝，D(X)＝，则a＋b的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　(1)X的可能取值为1，2，3，因为P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝3)＝(1－m)2，所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3，由E(X)＞1.75，即m2－3m＋3＞1.75，解得m＜或m＞(舍去)，所以0＜m＜.
(2)由E(X)＝，D(X)＝得
，
解方程组可得a＋b＝3.
【答案】　(1)C　(2)C
角度二　已知均值、方差求最值问题
(1)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记，该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，即未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为(　　)
A. B.
C. D．0
(2)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
　 　
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
①在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
②将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
【解】　(1)选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，当且仅当＝，即a＝9b时，＋取得最小值，解得此时c＝1－a－b＝1－－＝.
(2)①由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2

Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
②由题意，得f(x)＝D＋D＝ D(Y1)＋ D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝[4(x－75)2＋7 500]．
所以当x＝75时，f(x)取得最小值3.

(1)已知均值、方差求参数的思路
依据均值、方差的计算公式列方程(方程组)或不等式，将其转化为代数问题求解．
(2)已知均值(方差)求最值问题的一般思路
①构造函数求最值．
②构造基本不等式求最值．　

1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，所以2≤2，即ab≤.
2．(2020·嘉兴市高考模拟)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
b
a2
－
则E(ξ)的最小值为________，此时b＝________．
解析：由题意可得：b＋a2＋－＝1，即b＋a2－＝，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(－)＝a2－a＋1＝(a－)2＋≥，当且仅当a＝时取等号，此时b＝.
答案：　

　　　　　　均值与方差的实际应用
(2020·浙江省名校协作体高三联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；
(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
【解】　(1)由题意知X的可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以，考生甲正确完成题目数的分布列为
X
1
2
3
P



所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为Y，
因为Y～B，其分布列为：P(Y＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，所以E(Y)＝3×＝2.
又因为D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝3××＝，
所以D(X)＜D(Y)．
又因为P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，所以P(X≥2)＞P(Y≥2)．
①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；
②从至少完成2道题的概率来看，甲获得通过的可能性较大，因此，可以判断甲的实验操作能力强．

均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．　
　甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环，他们比赛成绩的统计结果如下：
环数击中频率选手
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3

乙
0.2

0.2
0.35
请你根据上述信息，解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？
解：(1)记甲运动员击中n环为事件An(n＝7，8，9，10)；乙运动员击中n环为事件Bn(n＝7，8，9，10)，甲运动员击中的环数不少于9环为事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10，根据已知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与B9∪B10相互独立，则P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，
P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55.
所以甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.357 5.
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，根据已知得X、Y的可能取值为7，8，9，10.
甲运动员射击环数X的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
甲运动员射击环数X的均值
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
乙运动员射击环数Y的概率分布列为
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
乙运动员射击环数Y的均值
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.
因为E(X)>E(Y)，
所以从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．
核心素养系列22　数据分析——利用期望与方差进行决策
　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买．则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一．应选用哪个？
【解】　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.
可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

利用期望与方差进行决策的方法
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好．
(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．
(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定．　
[基础题组练]
1．若随机变量X的分布列为
X
C
P
1
，其中C为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．E(X)＝D(X)＝0
B．E(X)＝C，D(X)＝0
C．E(X)＝0，D(X)＝C
D．E(X)＝D(X)＝C
解析：选B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故选B.
2．(2020·稽阳市联谊学校高三联考)随机变量ξ的分布列如下，且满足E(ξ)＝2，则E(aξ＋b)的值为(　　)
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．无法确定，与a，b有关
解析：选B.因为E(ξ)＝2，则a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，联立两式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1.
3．(2018·高考浙江卷)设0 ξ
0
1
2
P



则当p在(0，1)内增大时，(　　)
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
解析：选D.由题可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)
A．5 B．8
C．10 D．16
解析：选B.因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
5．设掷1枚骰子的点数为ξ，则(　　)
A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52
B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5
D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
解析：选B.随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P






从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，
D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.
6．如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)

A. B.
C. D.
解析：选B.依题意得X的取值可能为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)
X
0
2
a
P

p

A.2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.由题意可得，＋p＋＝1，解得p＝，因为E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故选C.
8．(2020·嘉兴质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，所以D(X)＝4××＝.
10．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2)，则(　　)
A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1 解析：选A.随机变量ξ1，ξ2的分布列为
ξ1
1
2
P



ξ2
1
2
3
P



所以E(ξ1)＝＋＝，
E(ξ2)＝＋＋＝，
所以E(ξ1) 因为p1＝＋·＝，
p2＝＋·＋·＝，
p1－p2＝>0，所以p1>p2.
11．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：
ξ
3
4
5
6
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为____________．
解析：由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2.
答案：0.2
12．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a的值为__________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2.
答案：2
13．设口袋中有黑球、白球共9个．从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________．
解析：设白球有m个，则取得白球的数学期望是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，
解得m＝3.
答案：3
14．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
解析：由题意可得
解得
所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案：
15．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P



那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝________．
解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，
E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝.
答案：－　
16．(2020·浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．
解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A)＝＝.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.
答案：　
17．从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有________种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析：①从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC＝48.
②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P



E(X)＝0＋1×＋2×＝.
答案：48　
[综合题组练]
1．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为
X
0
1
2
3
4
P





所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
所以或
2．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：(1)由题意得ξ＝2，3，4，5，6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P





(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P



所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝，
化简得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2.
(1)求C1，C2有交点的概率P(A)；
(2)求交点个数的数学期望E(ξ)．
解：(1)设圆心(0，0)到直线ax－y＋b＝0的距离为d，若C1，C2有交点，则d＝≤⇒b2≤2(a2＋1)．
当b＝1时，a＝1，2，3，4，5；当b＝2时，a＝1，2，3，4，5；当b＝3时，a＝2，3，4，5；当b＝4时，a＝3，4，5；当b＝5时，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19种情况，
所以P(A)＝＝.
(2)当交点个数为0时，直线与圆相离，有6种情况；
当交点个数为1时，直线与圆相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2这1种情况；
当交点个数为2时，由(1)知直线与圆相交，有18种情况．
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
4．(2020·温州八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204
(1)求m，n的值；
(2)求ξ2的分布列；
(3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．
解：(1)由题意得
解得m＝0.5，n＝0.1.
(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，
P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，
所以ξ2的分布列为
ξ2
41.2
117.6
204
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)
(3)由(2)可得：
E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，
由E(ξ1)＜E(ξ2)，
得120＜－10p2＋10p＋117.6，
解得0.4＜p＜0.6，
即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．