新高考数学一轮复习教师用书：第二章　3 第3讲　函数的奇偶性、对称性学案

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第3讲　函数的奇偶性、对称性


1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
(5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
[教材衍化]
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a