新高考数学一轮复习教师用书：第九章　3 第3讲　圆的方程学案

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第3讲　圆的方程


1．圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F>0
圆心：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　　)
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
[教材衍化]
1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案：A
2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．
解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
所以圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案：(2，－3)　
3．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
[易错纠偏]
(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系；
(3)不能正确确定圆心坐标．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆内，
所以(1－a)2＋(a＋1)20)上，设圆心坐标为，a>0.又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(2)因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．
设所求圆的圆心为C(a，b)，则有
解得
所以C(2，1)，所以半径r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
【答案】　(1)A　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝10
角度二　由圆的方程确定参数的值(范围)
(1)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00)，则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝＝，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值为2，此时a＝b，即a＝b＝2，切线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0

　　　　　　与圆有关的轨迹问题
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
【解】　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：选D.由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
7．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得
(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，所以a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2